例谈学生解析几何学习中隐蔽错误和其包孕教育价值

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1、例谈学生解析几何学习中的隐蔽错误及其包孕的教育价值陈重阳（浙江省温州中学　　325000）摘　要：有些学生因对解析几何的思想方法存在认识误区而在学习过程中出现一些隐蔽错误。这些错误触及解析几何学科思想和方法本质的核心，如果能够将学生的“错误”转化为教学资源，则可以发挥多方面的教育价值：有利于学生从思维的“最近发展区”“生长”出新的知识经验；有利于教师进行教学反思；有利于自然地生成真实灵动的数学课堂。关键词：解析几何隐蔽错误教育价值1．问题提出解析几何因独特的学科思想及历史文化意义在教学中历来被教师重视。同时，笔者也经常发现，有些学生因对解析几何的思想方法

2、存在认识误区或理解偏差进而在学习过程中出现一些隐蔽的错误。由于这些错误触及解析几何学科思想和方法本质的核心，若能将学生的“错误”转化为教学的生成性再生资源，则可以发挥其包孕的教育价值。2．隐蔽错误之种种现2．1方程之殇在一次师徒结对的校本教研听课活动中，笔者巧遇到如下的教学情景：例1：如图1，已知抛物线与双曲线有相同的焦点，是两曲线的交点且轴，则双曲线的离心率是。F1F2图1学生M的错解：，∵，由韦达定理得：，∴。得离心率：，大部分学生也是这样错解得到一样的答案。同学一时难以发现学生M解法错在哪里，都陷入了深深的思考中。青年教师T打破了课堂的平静，说道：

3、“学生M的解法里出现，而实际图中的两根都是正的，所以错了。这道题目用“方程法”（学生甲取名的）是解不了的，只能用“定义法”。”接着，教师T板书了正确解法：由曲线共焦点得：，，再由双曲线定义：，即，解得：离心率。学生尽管接受了老师的正确解法，但对看似正确的“方程法”还存在疑问，解析几何的思想本质之一不就是用方程方法解决几何问题吗？怎么在这行不通了？岂不是方程之殇！学生渴望老师能拨开他们心中的疑云，但课堂中未见教师T作任何解释，甚感惋惜。其实，方程的两个根满足韦达定理没有错。由于两曲线共焦点，所以，可得：，只是是虚根，有，化得：，即，解得：或（舍去）。上述过

4、程告诉我们，不是“方程法”解不了，而是学生对方程根的理解有误。双曲线与抛物线有两个交点，其横坐标，而却是虚根，而多数学生像学生M那样错误理解为，错得很隐蔽。教学中教师如能把错误的隐蔽之处向学生解释清楚，那么学生对方程思想方法的本质理解会更深刻，可惜因青年教师T的武断定论，让这么好的一次教育良机悄然滑过，笔者感到深深的遗憾。2．2方法之失众所周知，解析几何的思想精髓是用代数方法研究几何，即用方程表示曲线，进而用方程的方法研究几何问题。但由于个别学生对方法本质存在认知偏差或理解不全而造成错误，以两条二次曲线位置关系的判断为例，因为受直线与圆锥曲线位置关系判断

5、方法的影响，学生习惯于转化为二次方程的“判别式”来判断，很自然地把此法迁移到两条二次曲线位置关系的判断，造成了隐蔽错误。例2：判断两条曲线与的公共点个数。学生错解：①，②∵，∴两曲线公共点个数为2。二条曲线公共点的个数本质上是二条曲线方程联立方程组的解的组数，本例中，②方程有两根并不意味着①方程组有两组解。正确结论是：∵没有非负数实根，∴①方程组没有实数解，∴两曲线公共点个数为0。对初学解析几何的学生而言，像犯本例这样的错误非常普遍，通过本例教学，可以促进学生对解析几何思想方法的本质理解，进一步完善学生的认知结构。2．3代数之伤轨迹方程是解析几何的一个重

6、要概念，求轨迹方程是解析几何的一项重要任务，其中验证轨迹方程的纯粹性与完备性是必须的步骤。由于学生对“曲线的方程”概念的理解不深刻，往往只关注轨迹方程的代数运算结果而忽视几何限制范围而造成错误。图2例3：已知定点，是圆上的两个动点，且，求垂心的轨迹方程。学生F错解：如图2，∵，∴。高线交于，则，得：图3。所以，，求得垂心轨迹方程为：。学生F在翻阅答案时，发现还要添加范围，学生F对为何要添加此范围？又是如何解出的？一时想不明白，所以求助于笔者。图4分析几何位置，如图3，当时，垂心与原点重合，横坐标为0。如图4，当运动到是圆切线的极限状态时，垂心是一个极限位

7、置，横坐标为3。综上，垂心的轨迹方程是。这是笔者给学生F答疑的一个案例，本例因几何法的优势却显露了代数法的“硬伤”，“硬伤”主要表现为用代数法确定轨迹方程范围的窘境和难度，促成了学生的隐蔽错误。2．4几何之憾几何图形代数化与代数结果几何化是解析几何的基本思想。解析几何往往离不开图形的直观和直觉，但有时图形的直观也会带给学生错觉，造成认识偏差。在《抛物线的方程及简单几何性质》这节课上，学生S提出如下疑问：“从形上看，抛物线像双曲线的一支，应该也有渐近线吧！但课本上却只字未提，有点想不明白。”多数同学也表示有同样的疑惑。学始于疑，笔者隐隐感到这是再一次理解渐

8、近线概念和感悟解析几何思想方法的绝佳机会，岂能轻易错过。笔者首先表扬学生S敢问敢