利用面积法求线段的长

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1、利用面积法求线段的长湖北省仙桃一中初中部林明祥一些与垂线段有关的线段或线段的和利用面积法来求比较方便.一、在直角三角形中1、如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？解：∵BC2+AB2=122+52=169，AC2=132=169∴BC2+AB2=AC2∴∠ABC=90°当BD⊥AC时BD最短，造价最低∵S△ABC=1/2AB•BC=1/2AC•BD∴BD=60/1360/3×2

2、6000=120000答：最低造价为120000元．反思：直角三角形斜边上的高常常利用直角三角形的面积来求.二、在平行四边形中2、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=3㎝,AF=6㎝,AD=8㎝，求CD的长.解：连接AC，则S△ABC=S△ACD∴1/2AE·BC=1/2DC·AF又BC=AD=8∴1/2×3×8=1/2DC·6∴DC=4㎝反思：利用平行四边形的对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形可求与平行四边形高有关的线段长.这点对矩形、菱形和正方形也一样.三、在矩形中3、如图，在

3、矩形ABCD中，P是CD边上一点，PE⊥BD，垂足为E，PF⊥AC，垂足为F，如果AB=4，AD=3，求PE+PF的长.O解：连接OP.∵BD2=AB2+AD2=25∴BD=5∴OD=OC=2.5∵S△ODC=1/4×S矩形ABCD=1/4×4×3=3∴S△ODP+S△OCP=3即∴1/2OD•PE+1/2OC•PF=3∴1/2×2.5（PE+PF）=3∴PE+PF=2.4．反思：矩形的对角线把矩形分成四个面积相等的三角形,利用这一点可求有关线段或线段和的长.这点对平行四边形、菱形和正方形也一样.四、在菱形中4、如图，

4、矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝8，将矩形沿EF折叠，使C点与A点重合，求折痕EF的长.解：∵AE∥FC∴∠EAO=∠FCO又∠AOE=∠COF，AO=OC∴△AOE≌△COF∴AE=CF又AE∥FC∴四边形AECF是平行四边形又AC⊥EF∴四边形AECF是菱形连接AF.设FC=x,则AF=x,BF=8-x，则36+(8-x)2=x2解得x=25/4由勾股定理求得AC=10∵1/2AC·EF=FC·AB∴1/2×10EF=25/4×6∴EF=7.5反思：利用菱形面积的两种求法可求与菱形对角线有关的线段的长.五、在正方

5、形中5、如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，求PQ+PR的值.解：连接BP，过C作CM⊥BD.∵S△BCE=S△BPE+S△BPC=1/2BC·PQ+1/2BE·PR=1/2BC·（PQ+PR）∴1/2BC·（PQ+PR）=1/2BE·CM∴PQ+PR=CM∵BE=BC=1∴BD=∵BC=CD，CM⊥BD∴BM=DM又△BDC为直角三角形∴CM=1/2BD=/2∴PQ+PR=/2.反思：把一个三角形分成两个(或三个)三角形再利用其面

6、积和可求垂线段和的长.在等腰三角形(等边三角形)中尤其常见,如已知等腰三角形的腰和底,求它底边上任意一点到两腰距离之和,再如已知等边三角形的边长,求它内部任一点到三边距离之和的长.2014/4/19