利用面积法解一类线段关系问题

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1、利用面积法解一类线段关系问题武汉市新洲区邾城二中雷昕（430000）几何图形面积与线段、角、弧等有着密切关系，借助面积极法不但可证明各种几何图形中的面积等量关系，还可证某些线段相等，角的相等关系以及线段之间的比例式等多种类型的几何题，用面积法证题，关键在于利用题目的特点，分析相应图形面积之间的关系，推出几何题中相应边角关系。下面通过实例分析，说明如何借助面积找线段关系。实例：1、已知ΔABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：证明：根据三角形面积公式得SΔABC＝×CE＝BD×AC∴AB·CE＝BD·AC∴评析：BD和CE分别是ΔABC的高，而高又与面积相关，用

2、不同边上高表示三角形面积，由同一个三角形面积相等，快速确定找出线段比例关系，即找到三角形相似关系。实例：2、ΔABC中，∠A＝90°，D是AC上一点，BD＝DC，P是BC上一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求证：PE+PF＝AB证明：∵SΔPDB+SΔPCD＝SΔBCD∴×BD×PE+×CD×PF＝CD×AB∵CD＝BD∴PE+PF＝AB评析：PE、PF、AB分别是ΔPBD、ΔPCD、ΔBCD的高，ΔPBD、ΔPCD面积和等于ΔBCD面积。证明线段和差问题，借助等式中的线段恰好是相应三角形的高，利用面积来建立线段关系，约去两边的等线段得出求证结论。实例：3、平行四

3、边形ABCD对角线上有一点E，作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，求证：EF：EG＝AD：AB证明：作EK∥CD、EH∥CB∵EF⊥AB，EG⊥AD∴S平行四边形AHEK＝EF×AH＝EG×AK∴又∵EK∥CD∴EH∥BC∴∴即又∵∴评析：证线段成比例，联想到平行线截线段成比例关系，与分点E有关系，之所以过E作平行线构造新的平行四边形，借助平行四边形的面积来转换关系，由面积关系得比例式，从而推出结论。实例4、D、E分别是ΔABC边AC、AB上的点，BD、CE相交于O，ΔOBE、ΔOBC、ΔOCD面积分别为15、30、24，求AE：BE解：作DF∥EC交AB于F，ΔOBE

4、、ΔOBC同高，∴同理设OE＝m，OD＝4n，OC＝2m，OB＝5n∵DF∥EC∴ΔBOE∽ΔBDFΔADF∽ΔACE∴∴∴BE=EFDF=OE=又∵∴∴∴AE=EF∴评析：抓住ΔOBE与ΔOBC同高，借助面积积找同样借ΔOBC与ΔOCD同高，借助面积找最后进一步借助平行线截线段成比例运用上述线段之比找实例5、设G是ΔABC的重心，三条中线AM、BN、CH交于G，r是ΔABC内切圆半径，点G到边BC=a，CA=b，AB=c的距离分别为GD、GE、GF，探求与ΔABC内切圆半径r的关系。解∵AM、BN、CH是ΔABC三条中线，则有SΔAGB=SΔAGC=SΔBGC=SΔ

5、ABC∵SΔBGC=BC·GD同理∴借用关系式r是ΔABC内切圆半径SΔABC＝∴评析：运用ΔABC重心分割三角形面积特征，分成相等三部分，SΔAGB＝SΔAGC＝SΔBGC＝SΔABC，从表示三个部分着手，用面积表示GD、GE、GF的倒数关系，再运用ΔABC内切圆半径和三边关系表示ΔABC的面积，将部分与整体有机结合，探求其倒数和与三角形内切圆半径的关系。