圆中计算之----求线段的长

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1、计算圆中的线段圆中的计算，是进几年中考试题热点。而圆中的线段的计算就是其中的一类。下面就这类问题归纳如下，供学习时参考。1、求圆的半径例1、如图1，在⊙O中，弦的长为cm，圆心O到AB距离为4cm，则⊙O的半径长为（  ）A．3cm     B．4cm    C．5cm    D．6cm解析：当知道圆的一条弦长和圆心到该弦的距离时，常是作出这条距离，然后根据垂径定理、勾股定理，就可以求出圆的半径了。如图2，连接OA，过点O作OC⊥AB垂足为C，根据垂径定理，得：AC=BC=cm，因为，圆心O到AB距离为4cm，所以，OC=4cm，在Rt直角三角形AOC中，根据勾股定理，得：，所以，O

2、A=5，即圆的半径为5cm，因此，选C。例2、如图3，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D．若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．解析：根据垂径定理可以知道线段EB的长，设出圆的半径，然后用半径表示出OE，这样就可以在Rt直角三角形OEB中，根据勾股定理，就可以求出圆的半径了。因为，OD⊥BC，所以，BE＝CE=BC=4．设⊙O的半径为R，则OE=OD-DE=R-2．在Rt△OEB中，由勾股定理得OE2＋BE2=OB2，即(R-2)2＋42=R2．解得R＝5，∴⊙O的半径为5。例3、如图4，内接于⊙O，，，则⊙O的半径为（　　）A．B．C．D．解析：当知道圆的一条弦长

3、和该弦所对的圆周角时，常是经过这条弦的一个端点，作出圆的一条直径，然后利用圆周角定理，把所有的已知条件都迁移到刚才所作的直径所对圆周角的直角三角形中，就可以求出圆的半径了。如图5，过点B作圆的直径BD，交圆于点D，连接AD，，根据圆周角定理，得：∠C=∠D=30°，∠DAB=90°所以，在Rt直角三角形ADB中，因为，∠D=30°，AB=2，所以，DB=4，所以，圆的半径为2cm，因此，选B。2、求圆的直径例4、如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=，则⊙O的直径等于。解析：这是一道值得探讨的好题。好在结论的获得有着不同的途径，也就是说

4、，它是一道一题多解的命题。下面我们就介绍一种解法如下：解：过点A作圆的直径AE，交圆O于点E，连接BE，如图4，所示，在Rt直角三角形ADC中，根据勾股定理，得：，所以，AD=4，又因为，AE是圆的直径，所以∠ABE=90°，所以，∠ABE=∠ADC，又因为，∠C=∠E，所以，△ABE∽△ADC，所以，AB：AD=AE：AC，所以，AE==5，所以圆O的直径为5。例5、小明要用圆心角为120°，半径是27cm的扇形纸片(如图)围成一个圆锥形纸帽，做成后这个纸帽的底面直径为____________cm．(不计接缝部分，材料不剩余)解析：这是一道圆锥侧面展开问题。解决问题的关键：圆锥底面

5、圆的周长等于侧面展开后扇形的弧长。这样，就建立起等式。设圆锥底面圆的直径为xcm，扇形的弧长为L，所以，圆锥底面圆的周长为：πxcm，扇形的弧长为：L=cm，根据题意得：πx=18π，解得：x=18，所以，纸帽的底面直径为18cm。3、求圆中弦长例6、如图6，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线．若大圆半径为，小圆半径为，则弦的长为．解析：因为大圆的弦是小圆的切线，不妨设切点为D，如图7，连接OD，根据切线的性质，得：OD⊥AB，根据垂径定理，得：AD=DB=，连接OA，则OA=10，OD=6，在Rt直角三角形AOD中，根据勾股定理，得：，所以，AD=8，所以，弦AB=2AD

6、=16（cm）。例7、如图8，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC＝。解析：因为BD为⊙O的直径，根据圆周角定理，得：∠C=∠D，∠DAB=90°。又因为，∠BAC=120°，AB=AC，所以，∠C=∠CBA=∠D=30°，∠DBA=60°，所以，∠DBC=30°在Rt直角三角形ABD中，得：cos30°=，又AD=6，所以，BD=4，如图8，连接DC，则∠BCD=90°，在Rt直角三角形BCD中，∠DBC=30°，BD=4，得：cos30°=，BC=4×=6。4、求切线的长例8、如图9，是⊙O的两条切线，切点分别为，连结，在⊙O外作

7、，交的延长线于点．如果⊙O的半径为3，，试求切线的长；解：切⊙O于点，，在中，，，。由勾股定理，得。5、求圆心的坐标例9、如图10，⊙M与轴相交于点，，与轴相切于点，则圆心的坐标是．解析：如图11，连接MC，因为，点是切点，所以，MC⊥y轴，也就是说MC的长度就是圆心M的横坐标，过圆心M作MD⊥AB，垂足为D，也就是说MD的长度就是圆心M的纵坐标，因为，⊙M与轴相交于点，，与轴相切于点，所以，OA=2，OB=8，AB=6，根据切割线定理，得：，所以，OC=