二项式定理习题精选精讲

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1、习题精选精讲基本内容一、二项式定理这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做的展开式1.项数规律：展开式共有n+1个项2.二项式系数规律：3.指数规律：（1）各项的次数和均为n；（2）二项和的第一项a的次数由n逐次降到0，第二项b的次数由0逐次升到n.特别地:1、把b用-b代替2、令a=1，b=x3、令a=1，b=1（公式为n个（a+b）乘积的结果，利用计数原理分析所得结果，掌握递推法）二、杨辉三角：表中的每一个数等于它肩上的两数的和1010习题精选精讲1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。

2、2、第n行的数字个数为n个。3、第n行数字和为。4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。5、斜行数字之和1+2+3+….+=即1+3+6+….+=即1+4+10+…+=………………….6、第n行的第1个数为1，第二个数为1×(n-1)，第三数为1×(n-1)×（n-2）/2，第四个数为1×(n-1)×（n-2）/2×（n-3）/3…依此类推。三、二项式展开的通项（第r+1项）四、二项式系数性质二项式系数的函数观点:从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是：图像：孤立的点

3、定义域{0,1,2,…,n}1.对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。2.增减性与最大值当K<时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当n是偶数时，中间的一项第项，取得最大时1010习题精选精讲当n是奇数时，中间的两项第项和第项，、相等，且同时取得最大值。（当为奇数时，的展开式的中间项是和；当为偶数时，的展开式的中间项是。）3.各二项式系数和常见题型及解法一、求二项展开式1．“”型的展开式例1．求的展开式；解：原式=====（直接展开也可以，但稍显麻烦）

4、小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。2．“”型的展开式例2．求的展开式；分析：解决此题，只需要把改写成的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。3．二项式展开式的“逆用”例3．计算；解：原式=小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。1010习题精选精讲1010习题精选精讲二、通项公式的应用1．确定二项式中的有关元素例4．已知的展开式中的系数为，常数的值为解：令，即依题意，得，解

5、得2．确定二项展开式的常数项、有理项（常数项即项.有理项即整数次幂项）1、求常数项例5．展开式中的常数项是解：令，即。所以常数项是2、求有理项例10．求的展开式中有理项共有项；解：当时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。①当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；②当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。3．求单一二项式指定幂的系数例6．（03全国）展开式中的系数是；解：==令则，从而可以得到的系数为：，填练习：试判断在1010习题精选精讲练习(1

6、)：试判断在的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.(2)由展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有多少项？（共17项）三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．的展开式中，的系数等于解：的系数是四个二项展开式中4个含的，则有例8．（02全国）的展开式中，项的系数是；解：在展开式中，的来源有：①第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为；②第一个因式中取出1，则第二个因式中必出，其系数为的系数应为：填。练习、:求例6:求的展开式中项的系数.数四、利用二项式定理的性质解题1．求中间

7、项例9．求（的展开式的中间项；解：展开式的中间项为即：。1010习题精选精讲1．求系数最大或最小项注意区别二项式系数与项的系数的概念：二项式系数为；项的系数为：二项式系数与数字系数的积（1）特殊的系数最大或最小问题例11．（00上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是；解：要使项的系数最小，则必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小项的系数为（2）一般的系数最大或最小问题例12．求展开式中系数最大的项；解：记第项系数为，设第项系数最大，则有又，那么有即解得，系数最大的项为第3项和第4项。（3）系数绝对值最大的项例1

8、3．在（的展开式中，系数绝对值最大项是；解：求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理，故此答案为第4项，和第5项。1010习题精选精讲（4或5）五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和几个结论：1、a=b=1,或2、a=1、b=-1，倒序相加求和法分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为