二项式定理习题精选精讲.doc

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1、基本内容一、二项式定理这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式右边的多项式叫做的展开式1.项数规律:展开式共有n+1个项2.二项式系数规律:3.指数规律:(1)各项的次数和均为n;(2)二项和的第一项a的次数由n逐次降到0,第二项b的次数由0逐次升到n.特别地:1、把b用-b代替2、令a=1,b=x3、令a=1,b=1(公式为n个(a+b)乘积的结果,利用计数原理分析所得结果,掌握递推法)二、杨辉三角:表中的每一个数等于它肩上的两数的和1、每行数字左右对称,由1开始逐渐变大,然后变小,回到1。2、第n行的数字个数为n个。3、第n行数字和

2、为。4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。5、斜行数字之和1+2+3+….+=即1+3+6+….+=即1+4+10+…+=………………….6、第n行的第1个数为1,第二个数为1×(n-1),第三数为1×(n-1)×(n-2)/2,第四个数为1×(n-1)×(n-2)/2×(n-3)/3…依此类推。三、二项式展开的通项(第r+1项)四、二项式系数性质二项式系数的函数观点:从函数角度看,可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是:图像:孤立的点定义域{0,1,2,…,n}1.对称性在二项展开式中,与

3、首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。2.增减性与最大值当K<时,二项式系数是逐渐增大的,由对称性知它的后半部是逐渐减小的,且在中间取得最大值。当n是偶数时,中间的一项第项,取得最大时当n是奇数时,中间的两项第项和第项,、相等,且同时取得最大值。(当为奇数时,的展开式的中间项是和;当为偶数时,的展开式的中间项是。)3.各二项式系数和常见题型及解法一、求二项展开式1.“”型的展开式例1.求的展开式;解:原式=====(直接展开也可以,但稍显麻烦)小结:这类题目一般为容易题目,高考一般不会考到,但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”

4、的思想在高考题目中会有体现的。2.“”型的展开式例2.求的展开式;分析:解决此题,只需要把改写成的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。3.二项式展开式的“逆用”例3.计算;解:原式=小结:公式的变形应用,正逆应用,有利于深刻理解数学公式,把握公式本质。二、通项公式的应用1.确定二项式中的有关元素例4.已知的展开式中的系数为,常数的值为解:令,即依题意,得,解得2.确定二项展开式的常数项、有理项(常数项即项.有理项即整数次幂项)1、求常数项例5.展开式中的常数项是解:令,即。所以常数项是2、求有理

5、项例10.求的展开式中有理项共有项;解:当时,所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。①当一个代数式各个字母的指数都是整数时,那么这个代数式是有理式;②当一个代数式中各个字母的指数不都是整数(或说是不可约分数)时,那么这个代数式是无理式。3.求单一二项式指定幂的系数例6.(03全国)展开式中的系数是;解:==令则,从而可以得到的系数为:,填练习:试判断在练习(1):试判断在的展开式中有无常数项?如果有,求出此常数项;如果没有,说明理由.(2)由展开式所得的x的多项式中,系数为有理数的共有多少项?(共17项)三、求几个二项式的和(积

6、)的展开式中的条件项的系数例7.的展开式中,的系数等于解:的系数是四个二项展开式中4个含的,则有例8.(02全国)的展开式中,项的系数是;解:在展开式中,的来源有:①第一个因式中取出,则第二个因式必出,其系数为;②第一个因式中取出1,则第二个因式中必出,其系数为的系数应为:填。练习、:求例6:求的展开式中项的系数.数四、利用二项式定理的性质解题1.求中间项例9.求(的展开式的中间项;解:展开式的中间项为即:。2.求系数最大或最小项注意区别二项式系数与项的系数的概念:二项式系数为;项的系数为:二项式系数与数字系数的积(1)特殊的系数最大

7、或最小问题例11.(00上海)在二项式的展开式中,系数最小的项的系数是;解:要使项的系数最小,则必为奇数,且使为最大,由此得,从而可知最小项的系数为(2)一般的系数最大或最小问题例12.求展开式中系数最大的项;解:记第项系数为,设第项系数最大,则有又,那么有即解得,系数最大的项为第3项和第4项。(3)系数绝对值最大的项例13.在(的展开式中,系数绝对值最大项是;解:求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理,故此答案为第4项,和第5项。(4或5)五、利用“赋值法”求部分项系数,二项式系数和几个结论:1、a=b=1,或2、a=1、b

8、=-1,倒序相加求和法分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为由此分析求解14.若,则的值为;解:令,有,令,有故原式===在用“赋值法”求值时,要找准待求代数式与已知条件的联系,一般而言:特殊值在解题过程中考虑的

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