高考数学专题复习（精选精讲）练习8-二项式定理习题精选精讲.pdf

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1、例说二项式定理的常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。一、求二项展开式n1．“(ab)”型的展开式14例1．求(3x)的展开式；x43x14(3x1)解：原式=()=2xx104132234=[(3x)(3x)(3

2、x)(3x)]2C4C4C4C4C4x1432=(81x84x54x12x1)2x2121=81x84x542xx小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。n2．“(ab)”型的展开式14例2．求(3x)的展开式；x1414分析：解决此题，只需要把(3x)改写成[3x()]的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本xx题主要考察了学生的“问题转化”能力。3．二项式展开式的“逆用”123nnn例3．计算13Cn

3、9Cn27Cn....(1)3cn；01122333nnn解：原式=(3)(3)(3)....(3)(13)(2)CnCnCnCnCn小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。二、通项公式的应用1．确定二项式中的有关元素ax939例4．已知()的展开式中x的系数为，常数a的值为x24r3ra9rxrrr29rr9解：TC()()C(1)2ax2r199x23令r93，即r82依题意，得884989C(1)2a，解

4、得a1942．确定二项展开式的常数项110例5．(x)展开式中的常数项是3x515rr10rrrr6解：TC(x)()(1)Cxr110103x5令5r0，即r6。666所以常数项是(1)C210103．求单一二项式指定幂的系数2199例6．（03全国）(x)展开式中x的系数是；2xr29r1rr182r1r1rr1r183x解：T(x)()=x()()=()xr1C92xC92xC929令183x9,则r3，从而可以得到x的系数为：3132121C9()

5、，填222三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数23452例7．(x1)(x1)(x1)(x1)(x1)的展开式中，x的系数等于22解：x的系数是四个二项展开式中4个含x的，则有001122330123C(1)C(1)C(1)C(1)(CCCC)2023452345273例8．（02全国）（x1)(x2)的展开式中，x项的系数是；3解：在展开式中，x的来源有：266①第一个因式中取出x，则第二个因式必出x，其系数为C7(2)；344②第一个因式中取

6、出1，则第二个因式中必出x，其系数为C7(2)36644x的系数应为：(2)(2)1008,填1008。C7C7四、利用二项式定理的性质解题1．求中间项110例9．求（x)的展开式的中间项；3xr10r1r5515解：T(x)(),展开式的中间项为(x)()r1C103xC103x5即：252x6。n1n1n1n1n1n1n2a2b22a2b2当n为奇数时，(ab)的展开式的中间项是Cn和Cn；nnnn2a2b2当n为偶数时，(ab)的展开式的中间项是Cn。2．求有理项

7、110例10．求(x)的展开式中有理项共有项；3x4r110r10rrrr3解：T(r)()(1)xr1C103C10x当r0,3,6,9时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。①当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；②当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。3．求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题11例11．（00上海）在二项式(x1)的展开式中，系数最小的项的系数是；r11rr解：Tx(1)r

8、1C11r要使项的系数最小，则r必为奇数，且使C11为最大，由此得r5，从而可知最小项的系数为55C11(1)462（2）一般的系数最大或最小问题18例12．求(x)展开式中系数最大的项；42x解：记第r项系数为T，设第k项系数最大，则有rTkTk1r1r1又TrC8.2，那么有TTkk1k1.2k1