华约、北约、卓越2014大学自主招生模拟试题一数学含详细解答

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1、2014大学自主招生模拟试题一一.选择题1．把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为()(A)线段(B)不等边三角形(C)等边三角形(D)四边形2．等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－,用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是()(A)π9(B)π11(C)π12(D)π133．存在整数n,使+是整数的质数p()(A)不存在(B)只有一个(C)多于一个,但为有限个(D)有无穷多个4．设x∈(－，0),以下三个数α1=cos(sinxπ),α2=si

2、n(cosxπ),α3=cos(x+1)π的大小关系是()(A)α3<α2<α1(B)α1<α3<α2(C)α3<α1<α2(D)α2<α3<α15．如果在区间[1,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是()(A)4++(B)4－+(C)1－+(D)以上答案都不对6．高为8的圆台内有一个半径为2的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2

3、，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4二.填空题1．集合{x

4、－1≤log10<－，x∈N*}的真子集的个数是．2．复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，·z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_______．3．曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______．4．已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，

5、则最远的两顶点间的距离是________．4．从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_______种．(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．)5．在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________．模拟题答案模拟一一1.解：9－9(y－1

6、)2=9－(y+1)2，Þ8y2－20y+8=0，Þy=2或，相应的，x=0，或x=±．此三点连成一个正三角形．选C．2.解：πn=1536n×(－)，故π11<0，π9，π12，π13>0．作商比较：又，=15363´()66－36>1，=1536´()78－66<1．故选C．3.解：如果p为奇质数，p=2k+1，则存在n=k2(k∈N+)，使+=2k+1．故选D．4.解：α1=cos(sin

7、x

8、π)>0，α2=sin(cos

9、x

10、π)>0，α3=cos(1－

11、x

12、)π<0，排除B、D．∵sin

13、x

14、π+cos

15、x

16、π=

17、sin(

18、x

19、π+)<，于是cos

20、x

21、π<－sin

22、x

23、π，∴sin(cos

24、x

25、π)

26、x

27、π)，故α2<α1，选A．又解：取x=－，则α1=cos，α2=sin，α3=cosπ<0．由于<<，故α1>α2．5.：g(x)=x+=x+x+≥3=．当且仅当x=即x=时g(x)取得最小值．∴－=，=，Þp=－2，q=+．由于－1<2－．故在[1．2]上f(x)的最大值为f(2)=4－+．故选B．6.解：O2与下底距离=3，与O1距离=2+3=5，与轴距离=4，问题转化为在以4为半径的圆周上，能放几个距离为6的点

28、？右图中，由sin∠O2HC=3/4>0．707，即∠O2HO3>90°，即此圆上还可再放下2个满足要求的点．故选B．二1.解由已知，得

29、z－i

30、=1；argz1=，得z1=+i，=cos(－)+isin(－)．设z2的辐角为θ(0<θ<π)，则z2=2sinθ(cosθ+isinθ)．·z2=2sinθ[cos(θ－)+isin(θ－)]，若其实部为0，则θ－=，于是θ=．z2=－+i．3.解：只要考虑

31、AP

32、

33、最长与最短时所在线段扫过的面积即可．设P(1+cosθ，θ)，则

34、AP

35、2=22+(1+cosθ)2－2·2(1+cosθ)cosθ=－3cos2θ－2cosθ+5=－3(cosθ+)2+≤．且显然

36、AP

37、2能取遍[0，]内的一切值，故所求面积=π．4.解：该六面体的棱只有两种，设原正三