华理高数全部复习资料之函数

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1、第1章函数内容提要[主要内容]变量、集合、区间及邻域的概念，集合的运算，映射与函数的概念，函数的表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，反函数、复合函数、基本初等函数、分段函数的性质及其图形，初等函数的概念。1．变量、集合、区间在整个考察过程中始终保持不变的量，称为常量；在考察过程中能取不同数值的量称为变量。一组对象的汇集或总体，称为集合或集，常用大写英文字母、、等表示；集合中的每一个对象称为集合的元素，常用小写字母、、等表示。若是集合中的元素，称属于，记为，否则称不属于，记为。集合的表示法常用的有列举法和表示法。列举法是将所有元素一一列于一个大括号内，描述法一

2、般写成，其中是元素的一般形式，表示集合中的每个都具有的性质。空集记为。常用集合有实数集，有理数集，非整数集，自然数集，正实数集。实数和数轴上的点一一对应，实数集亦称为数直线。区间是一种特殊的集合。闭区间，开区间，左开右闭区间，左闭右开区间，无穷区间，半无穷区间，，，。表示包含点的任一开区间，称为点的邻域；表示点的去心邻域；，称为点的邻域；，称为点的去心邻域。2．集合运算子集：对于两个给定的集合和，若的任何一个元素，都有，则称集合是集合的子集，记作或。相等：对于两个集合和，如果与同时成立，就称两个集合与相等，记作。交集：对于两个给定的集合和，由同时属于这两个集合的元素组

3、成的集合，叫作集合和的交集，记作或，即，且。性质：，，并集：对于两个给定的集合和，由这两个集合的所有元素组成的集合，叫作集合和的并集，记作或，即或。性质：，，差集：对于两个给定的集合和，由属于但不属于的元素组成的集合，称为与的差集，记作，即，且。3．映射、函数映射：设和是两个非空集合，如果按照某种规则，使对于集合中的任一元素，可在中确定唯一的元素与它对应，就称是从到映射或映照，记为：。元素称为元素在映射下的像，记为。对于元素，称为元素在映射下的原像。函数：设是一个实数的集合，若根据某个确定的规则，使对于中的每一个，都有唯一确定的实数与之对应，就说在上给定了一个单值函数

4、，记作，。规则是函数的记号；称为自变量，集合为函数的定义域；称为因变量，集合为函数的值域，也可记为。函数的两要素：定义域和对应规则。只有当两个函数的定义域和对应规则都完全相同时，这两个函数才是相同的函数。4．函数的表示、分段函数、绝对值与三角不等式函数的表示法：图形表示法、列表表示法和解析表示法。分段函数：在自变量的不同范围内用不同运算式表示的函数称为分段函数。绝对值：实数的绝对值是一个非负实数，其定义为基本不等式：（１）（２）　（３）（三角不等式）（４）5．函数的性质（1）有界性设函数在集合上有定义，若存在正数，使对集合内任意一值，对应的函数值都有，则称函数在上有界

5、；若这样的不存在，即对任一正数，集合内总存在点，使成立，则称函数在上无界。（2）单调性如果对于区间内任意两点，总成立着（或，则称函数在区间内（严格）单调增加（或单调减少）。如果对于区间内任意两点，总成立着（或，则称函数在区间内非严格单调增加（或非严格单调减少）。（3）奇偶性设函数在区间内有定义，若对内任意一，都有成立，则称函数是内的偶函数；若对内任意一，都有成立，则称函数是内的奇函数。（4）周期性若存在非零实数，使对定义域内的一切，等式总成立，则称为上的周期函数，并称为的周期。通常所说的周期为其最小正周期，当不是所有的周期函数都有最小正周期。6．初等函数（1）反函数：

6、对于以为定义域，为值域的函数，若对集合中的任意一个，在集合中可唯一确定一个满足的数与之对应，则这一对应关系确定了一个以为自变量，为因变量的函数。这个函数就称为的反函数。（2）复合函数：设是的函数，其定义域为；而是的函数，其定义域为，值域为，且，则对于中的每一个值，经过中间值，唯一地对应一个确定的值。于是因变量经过中间变量而成为自变量的函数，记为（），称为函数和的复合函数。（3）基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。（4）初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次四则运算及有限次复合所得到的函数称为初等函数。复习指导：第1章函数复习指导一元函数的

7、概念，函数的单调性、奇偶性、周期性以及初等函数的性质及其图形在中学数学中早已熟悉了，这里不再赘述。下列仅对值得提醒的内容作一复述。1．函数的有界性设的定义域为，数集，（1）如果存在数，对于所有，恒有（），则称函数在上有上界（下界）。数称为函数在上的一个上界（下界）。（2）如果存在一个数，对于任何，使得成立，则称函数在上有界，数为函数在上的一个界。否则称函数在上无界。（3）界不唯一。如果为函数在上的一个界，则任何比大的正数也是它在上的界，所以一个有界函数必有无穷多个界。（4）函数在上有界的充分必要条件为在上既有上界又有下界。2．反函数设函数的定义域是，