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1、第6章积分法一、不定积分的性质(1)两个函数和的不定积分等于两个不定积分的和,即(2)被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的外面来,即二、不定积分的基本积分法(一)基本积分法(1)第一类换元积分法(凑微分法)若,则,其中是的任一可微函数,而是任意常数.(2)第二换元积分法设及均连续,的反函数存在且连续,若,则,其中是任意常数.(3)分部积分法(二)可积函数类(1)有理函数的积分两个多项式的商所表示的函数称为有理函数,通常可记为,其中都是的多项式.有理函数的积分可归结为多项式与有理真分式的积分.据代数学的知识,有理真分式总
2、可分解为部分分式.设有理真分式,其中可在实数范围内因式分解成,其中都是正整数,则有下列分解式:,其中均为待定常数.有理真分式经分解为部分分式后,其积分实质上可归结为下列四种类型的积分:①,②③,④其中每一个都可积出.因此有结论:有理函数的原函数必定可由初等函数表出,或有理函数的积分必定可被积出.(2)三角函数有理式的积分三角函数有理式是指.经万能代换可化为以作为积分变量的有理函数的积分,有.(3)简单无理函数的积分经适当的变量代换,使之化为有理函数的积分.令,可把原积分化为令,可把原积分化为二、定积分的基本积分法(1)公式法
3、求得被积函数的一个原函数,利用牛顿-莱布尼兹公式直接计算之.(2)定积分的第一类换元积分法(凑微分法).(3)定积分的第二类换元积分法设在上连续,若代换满足在闭区间(或)上有连续导数;当(或)时,必有;,则.(4)定积分的分部积分法设在上有连续导数,则三、定积分的数值计算法将区间分为等分,记(1)矩形法左矩形公式右矩形公式(2)梯形法(3)抛物线法(辛普森法)这里的必须为偶数四、定积分中的常用命题和公式(1)对称区间上连续奇函数的积分为零,即若是上的连续奇函数,则.(2)对称区间上连续偶函数的积分为半个区间上积分的两倍,即若
4、是上的连续偶函数,则.(3)若是周期为的连续函数,则对于任意实数,均成立.(4)(其中为正整数)复习指导：第6章积分法一、不定积分1.基本积分法(1).第一类换元积分法(凑微分法)其特点是”凑好了换”,把被积函数分出一部分写成,而余下部分恰好是的函数,即,然后取变换:令.一般情况下可以考虑的积分类型有:等等(2)第二类换元积分法其包含的主要类型有三角代换与倒代换.一般情况下可以考虑的积分类型有:令令令若被积函数中含有无理函数的形式,则可先配方,然后选择适当的三角代换.另外,倒代换常可消去被积函数分母中的积分变量因子.(3)分
5、部积分法分部积分法主要用于被积函数为两类不同函数相乘的情形,常见的有以下的积分类型:若计算不定积分,而其中的被积函数当=多项式正弦(余弦)函数时,可取=多项式;当=多项式指数函数时,可取=多项式;当=多项式对数函数时,可取=对数函数;当=多项式反三角函数时,可取=反三角函数.2可积函数类(1)有理函数的积分有理函数积分的主要步骤在于将被积函数分解为部分分式.不过对于具体的有理函数积分,通常可用”拆”,”凑”或”加一项再减一项”的方法.(2)三角函数有理式的积分万能代换可能会导致复杂的有理函数的积分.故对于三角函数有理式的积分
6、,有时也采用下列变换:当时,可令;当时,可令;当时,可令.二、定积分关于定积分的换元积分法.变量代换必须要满足定理的条件.如对于定积分,作代换,由于在处不连续,故换元不成立;再如对于定积分,作代换,因为此代换不是单值的,故换元也不成立.在利用换元积分法计算定积分时,有一定的技巧,如下例.例:计算定积分.解:原式=利用变量代换,.原式=.
