华理高数全部复习资料之 导数的应用

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1、第4章导数的应用内容提要本章以导数和微分学的一些基本结论为工具，讨论了函数性态的研究，最值计算，相关变化率，平面曲线曲率，导数在经济学中的应用等五个问题，其主要内容和结论可归为以下几个方面。（一）函数性态的研究1．函数的单调性设函数在闭区间上连续，开区间可导，若在上有（或），则在上严格单调增加（或严格单减）。注意：保证严格单调增加的条件可以放宽为，且使的点不形成区间，对严格单调减的情形，条件可放宽为，且使的点不形成区间。2.函数的局部极值（1）极值点的定义：若函数在点的某邻域有定义，且对一切成立（或），则称在取得[严格]极大

2、值（或极小值），称为的[严格]极大点（或极小点）。若将“<”（或“>”）用“”（或“”）代替，则称为非严格意义下的极值。（2）极值点的必要条件：函数的极值点必定是它的驻点或不可微点。（3）判别极值得充分条件一阶充分条件：设在处连续，并且在的某去心邻域内可导，则有以下结论成立：（i）若当时，；当时，，则在处取得极大值。（ii）若当时，；当时，，则在处取得极小值。（iii）若在的两旁，不变号，则在处不取得极值。二阶充分条件：设在点的某邻域内可导，，存在，则有以下结论成立：若，则是函数的极大值点。若，则是函数的极小值点。若，则对无

3、明确结论。3.函数的凹凸性和拐点（1）函数的凹凸性的定义如果在上，曲线始终位于区间内任意一点处切线的上方（或下方），则称该曲线在上是凸的（或凹的）。函数称为上的凸函数（或凹函数）。（2）凸函数的性质（a）若是上的凸函数，则对任意及有（b）若是上的凸函数,并且在上可导，则在上单调不减。（c）若是上的凸函数，则对任意不相等的及，有。（3）凹凸性判别的充分条件设在上二阶可导，若在上，，则在上是凸的；若在上，，则在上是凹的。（4）拐点拐点的定义：若连续曲线在点的近旁发生凹凸性改变，则称点为曲线的拐点。拐点的必要条件：若点是曲线的拐点

4、，则是使的点或者是使不存在的点。拐点判别的充分条件：设在的某邻域内二阶可导（处可以不存在，但在处连续），若在的两旁符号发生改变，则点是曲线的拐点。4.函数作图的步骤（1）确定函数的定义域及某些几何特性（如奇偶性，周期性等），求出及。（2）在函数的定义域内求出方程和的根，以及一阶，二阶导数不存在的点，并把这些点作为分界点将定义域划分成若干个部分区间。（3）列表并在每一个部分区间内确定，的符号，从而确定函数的单调区间，凹凸区间，局部极值点以及拐点。（4）确定函数图形的渐近线。（5）标出函数极值点，拐点在图形上的位置，结合（3），

5、（4）的结果，光滑的连接这些点作出的图形。（二）函数的最值由于开区间内的最值点也为极值点，所以在计算上的最值可按以下步骤进行：(1)求出在内的所有驻点和导数不存在的点，即求出在内的所有可能的极值点。(2)计算上述各可能极值点以及区间端点处的函数值。(3)比较以上各函数值的大小，最大者和最小者即为在上的最大值和最小值。在实际问题中，若由问题本身确定函数的最值存在，而可能的极值点又唯一，此时可确定该可能的极值点即为最值点。（三）相关变化率问题的处理方法根据具体问题建立变量间的关系式，通过对此关系式求导，求得变量间导数满足的关系式

6、，然后根据此式以及题意从已知变量的变化率推算所求变量的变化率。（四）平面曲线的曲率1．曲率的定义：2．弧微分公式：（1）若曲线方程为，则，其中曲线弧的正向为参数从小到大描绘曲线的方向（否则根式前取负号）。（2）若曲线方程为，则。（3）若曲线方程为，则。3．曲率计算公式：。4．曲率半径的计算公式：。（五）导数在经济学中的应用1．基本概念边际设函数在点处可导，则称导数值为函数在点的边际（函数），称为函数在点的边际（函数）值。成本函数表示产品数量为时所化费的总成本。平均成本函数边际成本对于总成本函数，其中表示产量，则生产第个单位产

7、品时所化的成本称为边际成本，边际成本的记号及计算公式为。边际收益当销售价为，销售量为时，总收益函数为，则其边际收益为。边际利润销售件产品后总收益与总成本之差为总利润，记为，其边际利润为。2．弹性分析弹性设函数在点处可导，函数的相对改变量（），与自变量的相对改变量之比称为函数在与之间的平均弹性。函数在点的弹性为。需求价格弹性。若，涨价则引起收入减少；若，涨价则引起收入增加。收益价格弹性。复习指导：第4章导数的应用学习指导本章的内容较多，但主要的习题可分为三类问题：1.直接求函数的单调区间，极值，最值，凹凸区间，拐点，曲率等；2

8、.利用单调性，最值，凹凸性证明不等式；3.求相关变化率，最值等的应用题。解以上问题的要点是：1.正确地计算出各阶导数；2.对各个基本概念的理解要准确；3.对增或减，凹与凸，极大与极小的判别法要正确使用；4.证不等式时，要通过恒等变形选取合适的辅助函数，通过是否变号来确定是用单调性还是用最值