华理高数全部复习资料之 多元函数微分学

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1、第11章多元函数微分学内容提要1.基本概念、定理与公式(1)二元函数的定义设有三个变量，如果对于变量的变化范围内每一对数值，按照一定的法则，变量总有一个确定的数值与之对应，则称变量是变量的二元函数，记做。(2)二元函数的极限则。(3)二元函数的连续性设函数在的某领域内有定义，分别给自变量在处的增量，得全增量。若极限，则称在处连续。(4)偏导数1）在处的偏导数设在的某领域内有定义，给自变量增量，而保持不变，即，相应地得到函数关于的偏增量，即，如果极限存在，则该极限值就称为在处对变量的偏导数，记为或者。同样可定义在处对变量的

2、偏导数，记极限值为或者。2）在区域D内的偏导数.若在区域D内每一点处，对或对的偏导数都存在，此时称函数在区域D内可导。这两个偏导数也是的二元函数，记做。3）高阶偏导数关于或的偏导数称为的二阶偏导数，分别记为对二阶偏导数再求偏导得三阶偏导数，依次类推。二阶及二阶以上偏导数称为高阶偏导数。(5)全微分设函数在点的某邻域内有定义，若全增量可表示为其中与无关，，则称函数在点处可微，称为在点处的全微分，记做。若可微，则有。从而其中(6)方向导数与梯度设在的某领域内有定义，自点引有向直线L（方向向量为），L上点，若存在，称此极限值为

3、函数在点沿方向的方向导数，记为，即，其中称向量为二元函数的梯度。(7)基本定理定理1(可微的必要条件)若在点处可微，则在该点处必存在，且有。定理2(可微的充分条件)若的两个偏导数在点的某领域内存在，并且在点处连续，则在点处可微。定理3(混合偏导相等的条件)若的两个混合偏导数及在区域D内连续，则有定理3(可微与方向导数的关系)若在点处可微，则在该点函数沿任一方向的方向导数均存在，且其值为，其中为关于轴的方向角,为同方向的单位向量，为梯度。2．微分法(1)简单显函数的微分法求时，将y当作常数，利用一元函数的求导公式和导数的运

4、算法则，即可求得，求类似。注：若是求分段函数在分段点处的偏导数，要用定义求。(2)复合函数微分法（链式法则）设在点处有偏导数，而函数在对应点可微，则复合函数在点对及的偏导数为注：1．若，，则关于及的偏导数为此处。中是自变量为，的二元函数，而中是自变量为，，的三元函数。2．若，，，，则对自变量t的全导数为(3)隐函数微分法1）由方程确定隐函数，则2）由方程确定隐函数,则3）由方程组确定隐函数，方程两边对求导得解此方程组可得，。4）由方程组确定隐函数，方程两边对求导得解此方程组可得，。方程两边对求导得解此方程组可得，。3.几

5、何应用(1)空间曲线的切线和法平面方程1）若空间曲线的方程为：，则曲线在的相应点处的切线方程为：，法平面方程为：特别地，i）当的方程为：，则曲线在点处的切线方程为：，法平面方程为：.ii）当的方程为：，则曲线在点处的切线方程为：，法平面方程为：.iii）当的方程为：，则曲线在点处的切线方程为：，法平面方程为：.2）若空间曲线的方程为：，则曲线在点处的切线方程为：,法平面方程为：.(2)空间曲面的切平面及法线方程1）空间曲面方程为，则曲面在点处的切平面方程为：法线方程为：2）空间曲面方程为，则在点处的切平面方程为：法线方程

6、为：4.二元函数的极值(1).无条件极值1）定义设在点()的某领域内有定义，若对该领域内异于点()的任一点,恒有，则称是的极大值（或极小值），极大值极小值统称为极值，点()称为极值点。2）极值的必要条件设在点()可微，而且是的极值点，则有与同时成立。点()称为的驻点。3）极值的充分条件设z=f(x,y)在驻点的某领域内有二阶连续偏导数，记，，则i）当时，是的极值点；若，则是极小值点；若，则是极大值点。ii）当时，不是的极值点。iii）当时，无法判断。(2)条件极值在条件下的极值问题称为条件极值问题。常用拉格朗日乘数法解。

7、复习指导：学习指导1．二元及二元以上函数只与定义域和对应法则有关，而与变量符号无关；二元函数的定义域是一平面区域；二元函数在几何上可用一曲面或一族等值线来表示。2．二元函数的极限要求点以任何方式，沿任何路径趋向，均有。倘若沿两条不同的路径，不相等，则可断定不存在，这是证明二元函数极限不存在的有效方法。一般计算二元函数的极限比较困难，但有部分可转化为一元函数来处理，常用的有极限的四则运算法则，重要极限，无穷小性质，夹逼原理。3．在处连续等价于；闭区间上一元连续函数的性质可推广到闭区域上二元连续函数。4．求的偏导数时，将看作

8、常数，看作的一元函数；求时，将看作常数，看作的一元函数。求分段函数分段点的偏导数，要用偏导数用定义。5．求的二阶偏导数，即求。其中混合偏导数并不总是相同。当都连续时，两者相等。6．求的全微分方法一：先求偏导数，再代入公式；方法二：用全微分的形式不变性及微分的四则运算法则。若可微，则不论是自变量还是中间变量，总有7．二