华理高数全部复习资料之微分学的基本定理

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1、第3章微分学的基本定理内容提要（一）微分1．概念微分的定义：设函数在点处可微，给定自变量的增量，称对应的函数增量的线性主部为函数在点处的微分，记作或。2．常用的微分公式（为常数）（，）（，）3．微分运算法则（1）四则运算；；。（2）复合函数微分若，，则。4．微分形式的不变性若，，则有。5．微分在近似计算中的应用当很小时，有：，。（二）微分中值定理1．罗尔定理：设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且，则必存在，使得。2．拉格朗日中值定理：设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，则必存在，使得成立。推论1设

2、函数在闭区间上连续，开区间内可导，若对任意有则在上恒为常数。推论2若在内恒有，则存在常数，使得，。3．柯西中值定理：设函数和均在闭区间上连续，在开区间上可导，且它们的导数不同时为零，又，则必存在，使得成立。4．有限增量公式若函数在上连续，在上可导，则，。或，其中，。（三）洛必达法则1．型的洛必达法则：若和满足（1）；（2）和在内可导，且；（3），则。（把改为等，法则仍然成立）。2．型的洛必达法则：若和满足（1）；（2）和在内可导，且；（3），则。（把改为等，法则仍然成立）。3．其他待定型：，，，，。（四

3、）泰勒公式1．泰勒多项式：若在点处有阶导数，则称多项式为函数在处的阶泰勒多项式。2．几个定理：定理1设函数和它的直到阶（包括阶）的导数在闭区间上连续，而且在开区间内有阶导数，则成立，。定理2若在包含在内的某一区间有直到阶导数，则对此区间内的任一都成立，其中介于和之间。并称为泰勒公式的拉格朗日型余项。定理3若在点有连续的阶导数，则可以将其展开为，称上式为函数在处的带佩亚诺余项的阶泰勒公式。3．常用的泰勒公式：；；；；。复习指导：第3章微分学的基本定理复习指导重点：微分计算，中值定理的应用，利用洛必达法则求

4、极限，泰勒公式。难点：中值定理的应用。1．中值定理的应用（1）注意中值定理的条件只是充分条件，不是必要条件。（2）中值定理的这些条件缺一不可。（3）中值定理经常运用在等式和不等式的证明中。例如在证明时，可以构造一个辅助函数，将等式转化为的形式，而后验证在某个闭区间上满足中值定理的条件，从而得出结论。在证明一个不等式时，可以考虑将其和一个函数及此函数在某个闭区间的两个端点上的函数值联系起来，从而可以利用拉格朗日中值定理得出结论。2．泰勒公式（1）使用泰勒公式时，一定要注意两种余项（拉格朗日余项与皮亚诺余项

5、）使用的前提条件不同。（2）常利用带皮亚诺型余项的泰勒公式计算极限。（3）证明命题时，经常利用带拉格朗日型余项的泰勒公式。3．洛必达法则洛必达法则是解决待定型极限问题时的一种简便而有效的方法，但使用时注意以下几点：（1）每次使用前必须判断是否属于七种待定型：。盲目使用将导致错误。（2）洛必达法则的条件是充分的而非必要的，遇到不存在时，不能断定不存在。例：，但不存在。（3）有些极限问题虽然满足洛必达法则的条件，但用此法无法求出极限例：，但事实上。（4）洛必达法则对待定型的极限有特效，但并不是万能的，有时也

6、并非为最佳的解题方法。例：用泰勒公式展开较简便。例：用微分中值定理较简便。