勾股定理逆定理八种证明方法

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1、证法1作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上（设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.）。过点C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF≌RtΔEBD，∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180°―90°=90°又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形。∴∠ABC+∠CBE=90°∵RtΔABC≌RtΔEBD，∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90°　即∠CBD=90°又∵∠BDE=90°，∠B

2、CP=90°，　BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形。同理，HPFG是一个边长为b的正方形.　设多边形GHCBE的面积为S，则证法2作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。斜边长为c.再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.　过点Q作QP∥BC，交AC于点P.　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点　F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA=90°，QP∥BC，∴∠MPC=90°，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90°，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°。∵∠QBM+∠MBA=∠QB

3、A=90°，　∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，∴∠，又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.　同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.即证法3作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形.　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，　∠CJB=∠CFD=90°，∴RtΔCJB≌RtΔCFD，　同理，RtΔABG≌RtΔADE，∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌

4、RtΔABG≌RtΔADE∴∠ABG=∠BCJ，∵∠BCJ+∠CBJ=90°，∴∠ABG+∠CBJ=90°，∵∠ABC=90°，∴G,B,I,J在同一直线上，。证法4作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结　BF、CD.过C作CL⊥DE，　交AB于点M，交DE于点L.∵AF=AC，AB=AD，　∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面积等于，　ΔGAD的面积等于矩形ADLM　的面积的一半，∴矩形ADLM的面积=.　同理可证，矩形MLEB的面积=.∵正方形ADEB的面积　=矩形ADLM的面积+

5、矩形MLEB的面积∴即证法5《几何原本》中的证明　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。　在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转

6、换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。　其证明如下：　设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为AB和BD分别等于FB和BC，所以△ABD必须相等于△FBC。因为A与K和L是线性对应的，所以四方形BDLK

7、必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形BDLK必须有相同的面积BAGF=AB²；。同理可证，四边形CKLE必须有相同的面积ACIH=AC2；。把这两个结果相加，AB2;+AC2;;=BD×BK+KL×KC。由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC由于CBDE是个正方形，因此AB2;+AC2;=BC2；。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的证法6（欧几里得（Euclid）射影定理证法）如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的

8、高　通过证明三角形相似则有射影定理如下