两类函数图象对称问题

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1、两类函数图象对称问题函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题，大致有两类：一类是同一个函数图象自身的对称性；一类是两个不同函数之间的对称性。定理1若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线对称。定理2若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(x+a)+f(b-x)+c=0，则函数y=f(x)的图象关于点成中心对称图形。定理3函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线对称。特别地，当a=-b时，函数y=f(-b+x)与函数y=f

2、(b-x)的图象关于直线x=b对称。定理4函数与函数的图象关于直线对称证明：,所以，将函数的图象向左平移个单位得的图象;将函数的图象向右平移个单位得函数的图象,而与的图象关于y轴对称，可得两函数图象关于直线对称。记忆技巧：令，易得。[例1]函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于__________对称解：由定理3知，两函数图象关于,即关于直线x=1对称。[例2]若方程f(3+2x)=0有三个根，则方程f(1-2x)=0有_____个根，两方程的所有的根之和为______解：设,由定

3、理知，两函数关于对称。故两函数图象与x轴交点个数相同，方程f(1-2x)=0也有三个根，这六个跟之和为.[例3]函数y=f(x)对一切x满足f(x+a)=f(b-x)（1）若方程f(x)=0恰有2n()个根，则这些根的和为多少？（2）若方程恰2n+1()个根，则这些根的和为多少？解：由定理1知，y=f(x)图象关于对称。（1）若方程f(x)=0恰有2n个根时，由于方程的根在x轴上对应点关于2对称，所以，,故.（1）若方程f(x)=0恰有2n+1个根时，则方程必有一根为，另外2n个根在x轴上对应点

4、关于对称，故.练习1、对于任意函数f(x)，在同一坐标系中，函数y=f(x-1)与函数y=f(-x+1)的图象关于什么对称？2、函数f(x)对一切x满足f(3+x)=f(4-x)，若方程f(x)=0恰有5个根时，则这些根的和为多少？3、f(x)+f(2-x)+2=0对任意实数x均成立，则f(x)的图象关于什么对称？4、函数的图象关于什么对称？5、讨论函数的对称性。6、函数的图象关于什么对称？f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值是多少？答案1、关于直线x=1对称2、3

5、、关于点(1,-1)成中心对称4、关于成中心对称,5、关于直线对称,关于点成中心对称。6、关于点成中心对称，-3。作者：焦景会河北隆尧一中055350电话031965689602