映射、函数、反函数、函数图象及对称变换

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1、中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉2．映射、函数、反函数、函数图象及对称变换一．基础知识自测题：1．如果给定一个从集合A到集合B的的映射f：AB，那么和A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象；a叫做b的原象，它们之间的关系可记做f：ab。2．如果在某变化过程中有两个变量x,y，并且对于x的每一个确定的值，按照某种对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么称变量y是变量x的函数；记做y＝f(x)。3．函数的三种表示方法是列表法、图象法、解析式法。4．下列各对函数中表示同一函数的是④、⑤。①

2、f(x)＝,g(x)＝x;②f(x)＝x,g(x)＝;③f(x)＝,g(x)＝;④f(x)＝x,g(x)＝;⑤f(x)＝

3、x＋1

4、,g(x)＝。5．函数y＝f(x)的图象和它的反函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称。6．若函数y＝f(x)的定义域是A，值域是B，且函数y＝f(x)存在反函数y＝f(x)，则y＝f(x)的定义域是B，值域是A。7．若函数y＝f(x)存在反函数，则方程f(x)＝m（m为常数）（C）。（A）有且只有一个实根（B）至少有一个实根（C）至多有一个实根（D）没有实数根8．在

5、同一坐标系内，函数y＝x和y＝x＋的图象可能是（C）。（A）（B）（C）（D）9．从集合A到集合B的对应法则是f：xy＝x2,在下列情况下使f成为一一映射的是（D）。（A）A＝R,B＝R（B）A＝R,B＝（C）A＝,B＝R（D）A＝,B＝二．基本要求、基本方法：1．了解映射的概念，在此基础上判断一个对应是否为映射。2．理解函数及其有关概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数。3．理解反函数的概念掌握求反函数的基本方法。4．掌握画函数图象的基本方法，会画简单的函数图象，能根据函数的图象识别

6、函数。例1．(1)已知f(x)＝,g(x)＝x＋1，求f[g(x)],g[f(x)]。(2)已知g(x)＝1－x2,且当x>0时，f[g(x)]＝,求f()。中国教育开发网中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉解：(1)f[g(x)]＝＝,g[f(x)]＝f(x)＋1＝；(2)令g(x)＝1－x2＝,得x＝>,∴f()＝f[g()]＝＝。评注：复合函数是正确理解函数关系的重要工具，要灵活掌握各种方法。例2．在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)移动

7、，设P点移动的路程为x，△APB的面积是y，(1)求面积y关于路程x的函数解析式；(2)做出函数y＝f(x)的图象；(3)判断f(x)是否存在反函数。解：(1)若0≤x≤4，则S△APB＝2x；若4

8、),当a,b,c,d满足什么条件时f(x)与它的反函数是同一个函数。解：y＝,cxy＋dy＝ax＋b,得x(cy－a)＝b－dy,∵cy－a≠0,∴x＝,∴原函数的反函数是y＝,故当d＝－a时，分f(x)与它的反函数是同一函数。评注：要求熟练掌握求反函数的方法，同时注意求反函数时的条件处理。一．基本技能训练题：1．函数y＝x＋的图象是（C）。（A）（B）（C）（D）2．已知函数f(x)＝(x≠－)满足f[f(x)]＝x,则c等于－3。3．已知A＝{1,2},B＝{3,4},可以组成不同的从A到B的

9、映射有4个。4．已知f(x＋1)＝x2－3x＋2,则f(x)＝x2－5x＋6。中国教育开发网中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉1．若f(x)＝3x－5,f[g(x)]＝x－3，则g(x)＝。2．已知对于任意的x∈R,总有f(x＋2)＝f(2－x),若f(x)＝0时，恰有两个不同的实数根，则这两个实数根的和为4。3．把函数y＝的图象向左平移2个单位，再把横坐标变为原来的倍，所得图象对应函数的解析式是。中国教育开发网中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉四．试题精选（一）选择题：1．对于下

10、面四个命题，其中正确的有（A）个。①f(x)＝是关于x的函数;②函数是从定义域到值域的一个映射；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④函数y＝的图象是抛物线。（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2．已知(a,b)在映射f下的象是(a－b,a＋b),那么(2,4)在f下的原象是（B）。（A）(―3,―1)（B）(3,1)（C）(,)（D）(－,－)3．集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，从集合A到集合B且集合B中的元素均为象的映射有（D）。（A）81个（B）72