映射与函数 反函数.docx

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1、授课日期班级课题：§1.2映射与函数反函数教学目的、要求：1.掌握映射与函数的概念2.掌握反函数的概念教学重点：映射、函数、反函数的概念教学难点：如何运用概念解题授课方法：讲解法教学参考及教具（含电教设备）：教参授课执行情况及分析板书设计或授课提纲:§1.2映射与函数反函数一、复习：1、集合、绝对值、区间的概念2、集合、绝对值、区间的运算三、新授：1、映射的概念及运算2、函数的概念及运算3、反函数的概念及运算四、练习：P9-9、10、11、12、13、14、15、16五、小结：1、映射的概念2、函数的概念3、反函数的概念六、作业：P-17、18、19

2、、20§1.2映射与函数反函数一、复习：1.集合、绝对值、区间的概念；2．集合、绝对值、区间的特性二、引入：函数是数学始终的一个重要概念，是这门课程的基本推理工具。熟练掌握初等函数的概念是学好高等数学的关键。三、新授：1、映射：定义一：设A,B是两个非空集合，如果按照一个确定的规则f，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则称f是由集合A到集合B的映射。记作：f：A→B如果A中的元素a，对应的是B中的元素b，则称b为a的像，a为b的原像。在定义中，要注意按照规则f确定的集合B中的元素存在且是唯一的。例如图1.7（b），1.7（c

3、）不表示由集合A到集合B的映射，因为图1.7（b）中集合A的元素a对应集合B中的两个元素b，c，不符合映射定义中唯一性的要求，而图1.7（c）中集合A的元素在集合B中无元素对应，也不符合映射定义中存在性的要求，但要注意，图1.7（d）所表示的是映射，尽管集合A中存在两个元素对应集合B中的同一个元素b，但不违背映射的定义。(a)(b)5分钟1分钟55分钟注意像的概念充分利用图像说明一一对应和一对多的关系(c)(d)图1.7例1：设A表示某一瞬间出生在地球上的人的集合，B表示地球上每一点的坐标（经纬度）的集合，规则f是A中的人对应其出生地的坐标，则f是由

4、A到B的映射。例2：设是除去0的自然数集合，中所有大于1的元素集记为A，是所有正实数的集合，对应规则f是将A中元素取对数（常用对数），则f是由A到的映射。例3：设A=，对应规则f是将集合A中元素取平方，则f是由A到B的映射。2、函数:定义二：设D、B为两个非空实数集合，对于数集D中的每一个数x，按照确定的对应规则f，对应着数集B中唯一的一个数y，则称f是定义在集合D上的函数.D称为f的定义域，与对应的实数y，记作。与对应的y值有时记为集合称为函数的值域。显然习惯上，x称为自变量，y称为因变量。要注意f是函数，f（x）是函数值。但是研究函数总是通过函数

5、值来进行的。为了方便，以后也把f（x）称作x的函数，或y是x的函数。如果对于自变量x的某一个值，因变量y能够得到一个确理解函数与映射的区别。注意：函数是一种映射关系事实上，函数就是集合D到集合B的一种映射注意：对于不同的函数，应用不同的记号，如f（x），g（x），定的值，那么就称函数f（x）在x处有定义。有时，会出现对于变量x的一个值，有几个y值与之对应的情形，根据函数定义，y不是x的函数，但是为了方便，我们约定把这种情况称之为y是x的多值函数，对于多值函数通常是限制其y的变化范围使之成为单值，再进行研究，例如，反三角函数是多值函数，当y限制在时，就

6、是单值了（这时习惯上称为主值，记作）。通过对的研究就可了解。例4:设函数。求解:例5:设，求解:令=t，则x=t-3即所以例6:设，证明：证明:因为F(x),G(x)换元时强调换元后的定义域所以例7:求函数的定义域解:这个函数是两项之和，所以当且仅当每项都有定义时，函数才有定义，每一项的定义域是，第二项的定义域是。所以函数f（x）的定义域是,或写区间（1，2].2、函数的表示法：函数有三种表示法：公式表示法、表格表示法和图形表示法。图形表示法的优点是直观形象，一目了然，且可看到函数的变化趋势。它的缺点是不便于分析研究。表格表示法在设计工作中常用，它的

7、优点是使用方便，如对数表，三角函数表，它的缺点也是不便于分析研究，公式表示法在理论研究中，推导论证中使用，它的优点是表达清晰，紧凑，缺点是抽象，不易理解。3、建立函数关系：寻找函数关系是高等数学所要研究的课题之一，在这儿我们仅介绍利用简单的几何或物理关系建立函数关系，在以后的一些章节中还将介绍利用微积分建立函数关系。例8：有一块边长为a的正方形铁皮，将它的四角剪去适当的大小相等的小正方形，制成一只无盖盒子，求盒子的体积与小正方形边长之间的函数关系。解：设剪去的小正方形的边长为x，盒子的体积为V，由图1.8，容易得到V=xxaxa-2x图1.8例9：设

8、有一圆锥容器，容器的底半径为R厘米，高为H厘米，现以a立方厘米每秒的速率往容器内注入水，试把容器中的水的容积