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1、中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉2.映射、函数、反函数、函数图象及对称变换一.基础知识自测题:1.如果给定一个从集合A到集合B的的映射f:AB,那么和A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象;a叫做b的原象,它们之间的关系可记做f:ab。2.如果在某变化过程中有两个变量x,y,并且对于x的每一个确定的值,按照某种对应法则,y都有唯一确定的值和它对应,那么称变量y是变量x的函数;记做y=f(x)。3.函数的三种表示方法是列表法、图象法、解析式法。4.下列各对函数中表示同一函数的是④、⑤。①
2、f(x)=,g(x)=x;②f(x)=x,g(x)=;③f(x)=,g(x)=;④f(x)=x,g(x)=;⑤f(x)=
3、x+1
4、,g(x)=。5.函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称。6.若函数y=f(x)的定义域是A,值域是B,且函数y=f(x)存在反函数y=f(x),则y=f(x)的定义域是B,值域是A。7.若函数y=f(x)存在反函数,则方程f(x)=m(m为常数)(C)。(A)有且只有一个实根(B)至少有一个实根(C)至多有一个实根(D)没有实数根8.在
5、同一坐标系内,函数y=x和y=x+的图象可能是(C)。(A)(B)(C)(D)9.从集合A到集合B的对应法则是f:xy=x2,在下列情况下使f成为一一映射的是(D)。(A)A=R,B=R(B)A=R,B=(C)A=,B=R(D)A=,B=二.基本要求、基本方法:1.了解映射的概念,在此基础上判断一个对应是否为映射。2.理解函数及其有关概念,能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数。3.理解反函数的概念掌握求反函数的基本方法。4.掌握画函数图象的基本方法,会画简单的函数图象,能根据函数的图象识别
6、函数。例1.(1)已知f(x)=,g(x)=x+1,求f[g(x)],g[f(x)]。(2)已知g(x)=1-x2,且当x>0时,f[g(x)]=,求f()。中国教育开发网中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉解:(1)f[g(x)]==,g[f(x)]=f(x)+1=;(2)令g(x)=1-x2=,得x=>,∴f()=f[g()]==。评注:复合函数是正确理解函数关系的重要工具,要灵活掌握各种方法。例2.在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P,沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)移动
7、,设P点移动的路程为x,△APB的面积是y,(1)求面积y关于路程x的函数解析式;(2)做出函数y=f(x)的图象;(3)判断f(x)是否存在反函数。解:(1)若0≤x≤4,则S△APB=2x;若48、),当a,b,c,d满足什么条件时f(x)与它的反函数是同一个函数。解:y=,cxy+dy=ax+b,得x(cy-a)=b-dy,∵cy-a≠0,∴x=,∴原函数的反函数是y=,故当d=-a时,分f(x)与它的反函数是同一函数。评注:要求熟练掌握求反函数的方法,同时注意求反函数时的条件处理。一.基本技能训练题:1.函数y=x+的图象是(C)。(A)(B)(C)(D)2.已知函数f(x)=(x≠-)满足f[f(x)]=x,则c等于-3。3.已知A={1,2},B={3,4},可以组成不同的从A到B的
9、映射有4个。4.已知f(x+1)=x2-3x+2,则f(x)=x2-5x+6。中国教育开发网中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉1.若f(x)=3x-5,f[g(x)]=x-3,则g(x)=。2.已知对于任意的x∈R,总有f(x+2)=f(2-x),若f(x)=0时,恰有两个不同的实数根,则这两个实数根的和为4。3.把函数y=的图象向左平移2个单位,再把横坐标变为原来的倍,所得图象对应函数的解析式是。中国教育开发网中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉四.试题精选(一)选择题:1.对于下
10、面四个命题,其中正确的有(A)个。①f(x)=是关于x的函数;②函数是从定义域到值域的一个映射;③函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线;④函数y=的图象是抛物线。(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.已知(a,b)在映射f下的象是(a-b,a+b),那么(2,4)在f下的原象是(B)。(A)(―3,―1)(B)(3,1)(C)(,)(D)(-,-)3.集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},从集合A到集合B且集合B中的元素均为象的映射有(D)。(A)81个(B)72