函数图象的对称性74463

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1、函数图象的对称性74463本人精心整理的文档函数奇偶性推广的教学位育中学周宇　　高一数学在学习了函数奇偶性后对学有余力的学生进行函数奇偶性推广的教学即函数图象对称性的研究是非常有益的通过对函数图象对称性的数量特征的探讨加深对数量特征与图象特征之间关系的理解　　函数解析式与函数的图象是函数的两种表现形式解析表示精确但抽象图象表示直观而易于理解这两者有机结合相辅相成就函数解析式与其对应的图象来说解析式具有的特点图象上必有所表现；图象上具有的特点解析式中也必有所反映　　因此我认为对函数图象对称性的研究的教学能培养学生的数学

2、素养提高学生理性思维的能力下面设计如何进行函数图象对称性的教学一、函数奇偶性推广到函数图像的对称性　　我们知道偶函数f(x)的图象是关于y轴对称图形f(x)是偶函数?f(?x)=f(x)；奇函数的图象是关于原点中心对称图形f(x)是奇函数?f(?x)=?f(x)．　　如果函数f(x)既不是偶函数又不是奇函数f(x)的图象是否可能是对称图形？我们先来看几个熟悉的函数．　　例1、判断下列函数的图象是否是对称图形如果是请指出对称轴或对称中心．　　(1)y=2x?1(2)y=x2+2x?3(3)(4)　　(5)y=

3、x?1

4、

5、解：(1)函数y=2x?1的图象是直线既是轴对称图形又是中心对称图形对称轴是与直线垂直的任意一条直线直线上任意一点是对称中心．例如点(1,1)．注：我们主要研究对称轴平行于y轴的情况．　　(2)函数y=x2+2x?3的图象是抛物线是轴对称图形对称轴为x=?1．　　(3)函数的图象是双曲线是中心对称图形对称中心是点(2,1)．　　注：双曲线也是轴对称图形此双曲线的两条对称轴方程分别是x?y?1?0和x?y?3?0我们以后将在解析几何中作进一步的研究　　(4)函数的图象是双曲线是中心对称图形对称中心是点(1,2)．　　(

6、5)函数y=

7、x?1

8、的图象是折线是轴对称图形对称轴是x=1．　　就函数解析式与其对应的图象来说解析式具有的特点图象上必有所表现；图象上具有的特点解析式中也必有所反映你能用数量关系来说明上述对称性吗？　　这里我们仅对第(2)和(3)两题加以证明．　　(2)在函数y=x2+2x?3的图象上任取一点M(a,a2+2a?3)则点M关于直线x=?1的对称点N的坐标(?2?a,a2+2a?3)也是函数y=x2+2x?3的一组对应值所以点N也在函数y=x2+2x?3的图象上从而函数y=x2+2x?3的图象关于直线x=?1轴对称．

9、　　(3)在函数的图象上任取一点则点M关于点(2,1)的对称点N的坐标也是函数的一组对应值所以点N也在函数的图象上从而函数的图象关于点(2,1)中心对称．　　这是根据对称图形的定义进行的证明能否通过平移图象所得的函数具有奇偶性来说明？　　(2)将函数y=x2+2x?3的图象向右平移1个单位得函数y=x2?4的图象因为函数y=x2?4是偶函数图象关于y轴对称所以函数y=x2+2x?3的图象是轴对称图形对称轴是x=?1．　　(3)将函数的图象向左平移2个单位向下平移1个单位得函数的图象因为函数是奇函数图象关于原点对称所以

10、函数的图象是中心对称图形对称中心是(2,1)．　　(1)、(4)、(5)三题留给同学们练习．　　评析：函数图象对称性的证明方法：①根据对称图形的定义证明图象上所有点的对称点仍然在图象上．其一般步骤是：图象上任取一点-->求对称点-->证明对称点也在图象上；②证明通过平移后的函数具有奇偶性．二、数量特征的探索　　问题：函数的图象是对称图形吗？三次函数y=ax3?bx2+cx?d(a≠0)的图象是对称图形吗？如果是对称轴或对称中心是什么？　　为此我们共同来探索函数y=f(x)的图像具有对称性的数量特征直接的判定方法．　　

11、如果函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称在函数y=f(x)的图象上任取一点M(x,f(x))则点M关于直线x=a的对称点N的坐标(2a?x,f(x))也是函数y=f(x)的一组对应值所以f(x)=f(2a?x)也可写成f(a+x)=f(a?x)．这也就证明了函数f(x)的图象关于直线x=a对称的必要条件是f(a+x)=f(a?x)．是否是充分条件呢？　　在函数y=f(x)的图象上任取一点M(a+x,f(a+x))则点M关于直线x=a的对称点N的坐标为(a?x,f(a+x))因为f(a+x)=f(a?x)所以N的坐

12、标(a?x,f(a?x))也是函数y=f(x)的一组对应值因此点N也在函数y=f(x)的图象上从而函数f(x)的图象关于直线x=a对称．这也就证明了函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充分条件是f(a+x)=f(a?x)．　　例2、(1)函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a?x)；　　(2)函数f(x)的图象关