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1、函数图象的对称性15710鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书。——李苦禅函数奇偶性推广的教学位育中学周宇 高一数学在学习了函数奇偶性后，对学有余力的学生进行函数奇偶性推广的教学，即函数图象对称性的研究，是非常有益的。通过对函数图象对称性的数量特征的探讨，加深对数量特征与图象特征之间关系的理解。 函数解析式与函数的图象，是函数的两种表现形式，解析表示精确但抽象，图象表示直观而易于理解。这两者有机结合，相辅相成，就函数解析式与其对应的图象来说，解析式具有的特点，图象上必有所表现；图象上具有的特点，解析式中也必有所反映。
2、因此，我认为，对函数图象对称性的研究的教学，能培养学生的数学素养，提高学生理性思维的能力。下面设计如何进行函数图象对称性的教学。一、函数奇偶性推广到函数图像的对称性 我们知道，偶函数f(x)的图象是关于y轴对称图形，f(x)是偶函数?f(?x)=f(x)；奇函数的图象是关于原点中心对称图形，f(x)是奇函数?f(?x)=?f(x)． 如果函数f(x)既不是偶函数，又不是奇函数，f(x)的图象是否可能是对称图形？我们先来看几个熟悉的函数． 例1、判断下列函数的图象是否是对称图形，如果是，请指出对称轴或对称中心．
3、(1)y=2x?1(2)y=x2+2x?3(3)(4) (5)y=
4、x?1
5、解：(1)函数y=2x?1的图象是直线，既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是与直线垂直的任意一条直线，直线上任意一点是对称中心．例如点(1,1)．注：我们主要研究对称轴平行于y轴的情况． (2)函数y=x2+2x?3的图象是抛物线，是轴对称图形，对称轴为x=?1． (3)函数的图象是双曲线，是中心对称图形，对称中心是点(2,1)． 注：双曲线也是轴对称图形，此双曲线的两条对称轴方程分别是x?y?1?0和x?y?3?0，我们以后将在解
6、析几何中作进一步的研究。 (4)函数的图象是双曲线，是中心对称图形，对称中心是点(1,2)． (5)函数y=
7、x?1
8、的图象是折线，是轴对称图形，对称轴是x=1． 就函数解析式与其对应的图象来说，解析式具有的特点，图象上必有所表现；图象上具有的特点，解析式中也必有所反映，你能用数量关系来说明上述对称性吗？ 这里，我们仅对第(2)和(3)两题加以证明． (2)在函数y=x2+2x?3的图象上任取一点M(a,a2+2a?3)，则点M关于直线x=?1的对称点N的坐标(?2?a,a2+2a?3)也是函数y=x2+2x
9、?3的一组对应值，所以点N也在函数y=x2+2x?3的图象上，从而函数y=x2+2x?3的图象关于直线x=?1轴对称． (3)在函数的图象上任取一点，则点M关于点(2,1)的对称点N的坐标也是函数的一组对应值，所以点N也在函数的图象上，从而函数的图象关于点(2,1)中心对称． 这是根据对称图形的定义进行的证明，能否通过平移图象所得的函数具有奇偶性来说明？ (2)将函数y=x2+2x?3的图象向右平移1个单位，得函数y=x2?4的图象，因为函数y=x2?4是偶函数，图象关于y轴对称，所以函数y=x2+2x?3的图象
10、是轴对称图形，对称轴是x=?1． (3)将函数的图象向左平移2个单位，向下平移1个单位，得函数的图象，因为函数是奇函数，图象关于原点对称，所以函数的图象是中心对称图形，对称中心是(2,1)． (1)、(4)、(5)三题留给同学们练习． 评析：函数图象对称性的证明方法：①根据对称图形的定义证明图象上所有点的对称点仍然在图象上．其一般步骤是：图象上任取一点-->求对称点-->证明对称点也在图象上；②证明通过平移后的函数具有奇偶性．二、数量特征的探索 问题：函数的图象是对称图形吗？三次函数y=ax3?bx2+cx?d
11、(a≠0)的图象是对称图形吗？如果是，对称轴或对称中心是什么？ 为此，我们共同来探索函数y=f(x)的图像具有对称性的数量特征，直接的判定方法． 如果函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，在函数y=f(x)的图象上任取一点M(x,f(x))，则点M关于直线x=a的对称点N的坐标(2a?x,f(x))也是函数y=f(x)的一组对应值，所以f(x)=f(2a?x)，也可写成f(a+x)=f(a?x)．这也就证明了函数f(x)的图象关于直线x=a对称的必要条件是f(a+x)=f(a?x)．是否是充分条件呢？ 在函数
12、y=f(x)的图象上任取一点M(a+x,f(a+x))，则点M关于直线x=a的对称点N的坐标为(a?x,f(a+x))，因为f(a+x)=f(a?x)，所以N的坐标(a?x,f(a?x))也是函数y=f(x)的一组对应值，因此点N也在函数y=f(x)的图象上，从而函数f(x)的图象关于直线x=a对称．这也就证明了函数f(x)的图象
