函数图象的对称性15710

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1、函数图象的对称性15710鸟欲高飞先振翅,人求上进先读书。——李苦禅函数奇偶性推广的教学位育中学周宇  高一数学在学习了函数奇偶性后,对学有余力的学生进行函数奇偶性推广的教学,即函数图象对称性的研究,是非常有益的。通过对函数图象对称性的数量特征的探讨,加深对数量特征与图象特征之间关系的理解。  函数解析式与函数的图象,是函数的两种表现形式,解析表示精确但抽象,图象表示直观而易于理解。这两者有机结合,相辅相成,就函数解析式与其对应的图象来说,解析式具有的特点,图象上必有所表现;图象上具有的特点,解析式中也必有所反映。  

2、因此,我认为,对函数图象对称性的研究的教学,能培养学生的数学素养,提高学生理性思维的能力。下面设计如何进行函数图象对称性的教学。一、函数奇偶性推广到函数图像的对称性  我们知道,偶函数f(x)的图象是关于y轴对称图形,f(x)是偶函数?f(?x)=f(x);奇函数的图象是关于原点中心对称图形,f(x)是奇函数?f(?x)=?f(x).  如果函数f(x)既不是偶函数,又不是奇函数,f(x)的图象是否可能是对称图形?我们先来看几个熟悉的函数.  例1、判断下列函数的图象是否是对称图形,如果是,请指出对称轴或对称中心.  

3、(1)y=2x?1(2)y=x2+2x?3(3)(4)  (5)y=

4、x?1

5、解:(1)函数y=2x?1的图象是直线,既是轴对称图形又是中心对称图形,对称轴是与直线垂直的任意一条直线,直线上任意一点是对称中心.例如点(1,1).注:我们主要研究对称轴平行于y轴的情况.  (2)函数y=x2+2x?3的图象是抛物线,是轴对称图形,对称轴为x=?1.  (3)函数的图象是双曲线,是中心对称图形,对称中心是点(2,1).  注:双曲线也是轴对称图形,此双曲线的两条对称轴方程分别是x?y?1?0和x?y?3?0,我们以后将在解

6、析几何中作进一步的研究。  (4)函数的图象是双曲线,是中心对称图形,对称中心是点(1,2).  (5)函数y=

7、x?1

8、的图象是折线,是轴对称图形,对称轴是x=1.  就函数解析式与其对应的图象来说,解析式具有的特点,图象上必有所表现;图象上具有的特点,解析式中也必有所反映,你能用数量关系来说明上述对称性吗?  这里,我们仅对第(2)和(3)两题加以证明.  (2)在函数y=x2+2x?3的图象上任取一点M(a,a2+2a?3),则点M关于直线x=?1的对称点N的坐标(?2?a,a2+2a?3)也是函数y=x2+2x

9、?3的一组对应值,所以点N也在函数y=x2+2x?3的图象上,从而函数y=x2+2x?3的图象关于直线x=?1轴对称.  (3)在函数的图象上任取一点,则点M关于点(2,1)的对称点N的坐标也是函数的一组对应值,所以点N也在函数的图象上,从而函数的图象关于点(2,1)中心对称.  这是根据对称图形的定义进行的证明,能否通过平移图象所得的函数具有奇偶性来说明?  (2)将函数y=x2+2x?3的图象向右平移1个单位,得函数y=x2?4的图象,因为函数y=x2?4是偶函数,图象关于y轴对称,所以函数y=x2+2x?3的图象

10、是轴对称图形,对称轴是x=?1.  (3)将函数的图象向左平移2个单位,向下平移1个单位,得函数的图象,因为函数是奇函数,图象关于原点对称,所以函数的图象是中心对称图形,对称中心是(2,1).  (1)、(4)、(5)三题留给同学们练习.  评析:函数图象对称性的证明方法:①根据对称图形的定义证明图象上所有点的对称点仍然在图象上.其一般步骤是:图象上任取一点-->求对称点-->证明对称点也在图象上;②证明通过平移后的函数具有奇偶性.二、数量特征的探索  问题:函数的图象是对称图形吗?三次函数y=ax3?bx2+cx?d

11、(a≠0)的图象是对称图形吗?如果是,对称轴或对称中心是什么?  为此,我们共同来探索函数y=f(x)的图像具有对称性的数量特征,直接的判定方法.  如果函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,在函数y=f(x)的图象上任取一点M(x,f(x)),则点M关于直线x=a的对称点N的坐标(2a?x,f(x))也是函数y=f(x)的一组对应值,所以f(x)=f(2a?x),也可写成f(a+x)=f(a?x).这也就证明了函数f(x)的图象关于直线x=a对称的必要条件是f(a+x)=f(a?x).是否是充分条件呢?  在函数

12、y=f(x)的图象上任取一点M(a+x,f(a+x)),则点M关于直线x=a的对称点N的坐标为(a?x,f(a+x)),因为f(a+x)=f(a?x),所以N的坐标(a?x,f(a?x))也是函数y=f(x)的一组对应值,因此点N也在函数y=f(x)的图象上,从而函数f(x)的图象关于直线x=a对称.这也就证明了函数f(x)的图象

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