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1、论文题目：线性微分方程的稳定性及其应用院系：数学科学学院专业：数学与应用数学姓名：刘英波学号：02211063指导教师：云文在完成时间：2006年6月3日7线性微分方程的稳定性及其应用刘英波包头师范学院数学系摘要：Lyapunov意义下的几种稳定性定义；线性系统的所有解具有相同的稳性；线性系统的稳定性与吸引性等价；线性微分方程的稳定性定理；Lyapunov稳定性定理及其在线性系统稳定性分析中的应用。关键词：线性微分方程稳定性引言稳定性的概念，最早来源于力学。李雅谱诺夫（Lyapunov）是第一位给出运动
2、稳定性数学定义的人，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。线性系统有着广泛的实际背景，各种实例，俯拾即得；同时，又是非线性系统化的重要源泉。由于线性系统成立迭加原理，从而使解集构成线性空间，并且通解可以通过Cauchy矩阵来表达，使稳定性理论有许多深刻的结果和特殊的方法。稳定性、吸引性的定义考虑线性微分方程组⑴记,,为含原点的空间的n维开子集。在中连续，简记为,分别为的定义域和值域。设方程⑴的Cauchy问题的解唯一，记,。设是⑴的未受扰动的解，是⑴的任意一个被扰动的解，作变换，
3、则⑴式化为⑵故⑴式的解对应着⑵式的平凡解。因此只研究⑵式的平凡解的稳定性就够了。7设保证⑴式的解的整体存在的唯一性，对任意的t,当且仅当,时，是⑵式的平凡解。以表示⑵式满足初始值的解，设在上有定义。定义：若，当时，对一切，有，称方程⑴的解是稳定的；反之，称方程⑵的解是不稳定的，即。定义：若，当，对一切，有，称方程⑵的解是一致稳定的。定义：若，当，时，有，即，称方程⑵的解是吸引的；若上述的T仅依赖于，不依赖于，即，称方程⑵的解是等度吸引的；若它是等度吸引的，且等度吸引中的不依赖于，不依赖于，即：。定义：称
4、方程⑵的解分别是渐近稳定，等度渐近稳定，拟一致渐近稳定的，若：1）它是稳定的；2）它分别为吸引、等度吸引、一致吸引的。定义：称方程⑵的解是一致渐近稳定的，若它是一致稳定的和一致吸引的，且⑵式的所有解是一致有界的（即,当对一切成立）。例1试判断线性方程组的稳定性解通解为，或，(与无关),当7时，就有，故平凡解一致稳定。但故平凡解不是吸引的，从而不是渐近稳定的。非齐次与齐次方程组稳定性的关系考虑n维变系数非齐次线性方程组⑶及对应的齐次方程组⑷其中,。若x,y是⑷式的解，则也是⑷式的解；若x,y分别是⑶式的解
5、，则x-y也是⑷式的解。⑷式的n个线性无关的解就构成⑷式的解空间的基。设是⑷式的基解矩阵，则为⑷式的标准基解矩阵，又称为Cauchy矩阵。定义：若方程组⑶的所有解具有某种稳定性，则称方程组⑶具有这种稳定性。定理:，方程组⑶具有某种稳定性,当且仅当⑷式的解具有相同的稳定性。推论:方程组⑶具有某种稳定性，当且仅当⑶的某一个解具有同一种稳定性。推论:具有某种稳定性，当且仅当方程组⑶具有同一种稳定性，当且仅当方程组⑷的零解具有同一种稳定性。例2线性控制系统的一般形式为其中为n维向量，为向量输入函数,为输出函数，
6、均为相应维数的连续函数矩阵。我们只研究对应的齐次系统的零解的稳定性。齐次方程组稳定性的几个等价定理定理:方程组⑷的平凡解稳定(一致稳定)的充要条件是它的Cauchy矩阵7(有界(一致有界)。定理：方程组⑷的平凡解渐近稳定的充要条件是它的平凡解是吸引的。证充分性若⑷式的平凡解吸引，则，使当使时，，取，便得到Cauchy矩阵的第k列，故有界，从而有界。由定理知⑷式的平凡解稳定，故充分性结论成立。必要性显然成立。推论:方程组⑷的平凡解一致渐近稳定等价于平凡解一致吸引，且一致有界。定理:方程组⑷的平凡解渐近稳定
7、(一致渐近稳定)的充要条件是⑷的Cauchy矩阵。,且一致有界。证充分性因为且一致有界),故存在正常数，使得。由定理知⑷式的平凡解稳定(一致稳定）,又由知⑷式的平凡解吸引(一致吸引)。必要性仿上面定理的证明蕴涵，，且一致有界蕴涵，且一致有界，从而结论成立。线性微分方程的稳定性定理考虑齐次线性方程组⑷当是n阶常数矩阵时，它的任一解均可表为形如的线性组合，这里为方程组⑷的系数矩阵的特征方程的根，为零或正整数。定理：设齐次线性方程组⑷的矩阵为常矩阵，则71）零解是稳定的，当且仅当矩阵的全部特征根的实部是非正的
8、，并且那些实部为零的特征根所对应的若尔当块都是一阶的；2）零解是渐近稳定的，当且仅当矩阵的全部特征根都有负的实部；3）零解是不稳定的，当且仅当矩阵的特征根中至少有一个实部为正或者至少有一个实部为零，且它所对应的若尔当块都是高于一阶的。定理：对于一元n次常系数代数方程⑸其中，做行列式，当时，，则⑸式的所有根均有负实部的充要条件是的一切主子式都大于零。例3判断方程组的零解的稳定性解：方程组的系数矩阵为，则特征方程为⑹因为，，，所以根据定理知⑹式
