高阶和线性微分方程及其微分方程的应用13题

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1、第二讲高阶和线性微分方程及其微分方程的应用方法:1°可降阶的二阶方程(1)不显含因变量的二阶方程:令,则,代入方程得(2)不显含自变量的二阶方程:方法:令,则,代入方程得例1求解解不显含因变量y的方程令,则,代入方程得(齐次型方程)令,则,代入方程得通解由由所以例2求解解不显含自变量x的方程令,则,代入方程得由p=0不是问题的解积分得由令所以特解:2°二阶线性微分方程例3(练习二/七)求的通解解特征方程:特征根:齐次方程的通解:设非齐次方程的解为:代入方程确定非齐次方程的特解:所以方程的通解:例4(练习二/一(3)/(4))写出方程的特解形式解特征方程:特征根:又对于方程:

2、特解形式:对于方程:特解形式:所以原方程的特解形式例5(练习二/一(1)/(4))求的通解解特征方程:特征根:通解:例6(练习二/八)求出以为特解的最低阶的常系数线性齐次方程解是特解1=1是所求微分方程的特征方程的二重根是特解是所求微分方程的特征方程的根所求方程的特征方程:所求微分方程:例7求出方程在[,]上满足的特解解微分方程可分解为(1)(2)方程(1)的通解:方程(2)的通解:即由于y(x)在x=0处有二阶导数故由由原方程在[,]上的通解:由初始条件,得所以特解:例8利用代换将方程化简,并求出原方程的通解解代入方程得解得原方程的通解:例9(练习二/十二)求

3、微分方程通解解代入方程得解得方程的通解3°微分方程的应用例10设可导函数f(x)对任意x,y恒有且求f(x)解令得f(x)满足:解得例11(练习三/三)已知函数y=f(x)的图形是经过P(0,1)和Q(1,0)两点的一段向上凸的曲线弧,M(x,y)为该曲线上任一点,弧与弦之间的面积为,求f(x)解设曲线的方程为y=f(x),由条件知两边求导有即方程的通解:由y(1)=0得c=11所以所求曲方程为例12汽艇以12km/h的速度在静水中行驶,现突然关闭发动机,让它在水中作直线滑行,若已知经过20秒后,速度降为6km/h,而水对汽艇的阻力与汽艇的速度成正比,求(1)关闭发动机40秒后,

4、汽艇的速度(2)关闭发动机后,汽艇在1分钟内滑行了多远?它最多能滑行多远?解(1)设时刻t,汽艇的滑行距离为s=s(t),速度为v(t)汽艇的质量为m,则(米/秒)由又(米/秒)(2)由积分得(米)汽艇滑行的最远距离:(米)例13求(0,+)上的连续函数f(x),使,且对任意正数u,v总成立:解设,则F(x)满足:F(x)满足:解得