非线性微分方程和稳定性

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1、第六章非线性微分方程和稳定性6-1对下列方程求出常数特解，并且画出方程经过的积分曲线的走向，从而判断各驻定解的稳定性；然后作变量替换，使非零驻定解对应于新的方程的零解。1）2）解1）方程可化为，则其常数特解为，即为驻定解。由于方程为分离变量方程（或迫努利方程），当时，分离变量得方程的通解为利用初始条件，得，故得原方程满足初始条件的解为（1）由式（1）和方程右端的表达式，得出当时，，递增，又时，，即时，。当，有所以解（1）的图像如图6-5所示。otx图6-5从解的图像可以看出：解不稳定；解稳定。利用变换，可将原方程化为所以原方程的驻定解对应于方程的零解。2）由，求得常数解为。因为在

2、全平面上连续可微，故对任意初始点，解唯一存在，当时有在区域，，任意解递增，在时，以为渐近线。在区域，，任意解递减，在时，以为渐近线。在区域，，任意解递增，在时，远离，又，故有铅直渐近线。积分曲线的分布如图6-6所示。o13xt图6-6从图6-6看出：当时，；当时，，当时，驻定解稳定；不稳定。令，代入原方程，得令，代入原方程，得所以原方程的驻定解和对应于新方程的零解。评注：驻定解是使方程的左端为零的解，也就是常数解。如果方程的通解能够解出，直接可研究驻定解的稳定性；如果方程的解不易得到，就从方程本身的特点研究其稳定性，这时可利用解的导数的符号得到解的单调区间从而推断驻定解的稳定性。

3、从题目中我们还可以知道，非零驻定解可以通过变量替换化为新方程的零解，这也是为什么在稳定性理论的研究中只考虑零解稳定性的缘故。方程是著名的罗杰斯蒂克（Logistic）微分方程型，常用来研究生态、经济等领域中的问题。6-2试讨论线性方程组的奇点类型，其中为实数且。解因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件，故线性方程组有唯一的奇点，即原点。又由，得。所以由定理6.1知，方程组的奇点可以分为以下类型：评注：讨论含参数系统的稳定性时，要注意各个参数的变化对奇点类型的影响。6-3试求出下列方程组的所有奇点，并讨论相应的驻定解的稳定性态。1）2）解1）先求出奇点。解方程组得，所以方程组1

4、）有奇点为和。再研究驻定解的稳定性态。零解的稳定性态。奇点的一次近似方程组为其特征根，有正实部的特征根，由定理6.3和定理6.5可知原系统的零解不稳定。驻定解的稳定性态。令将1）中方程组化为。一次近似方程组为，有正实部的特征根，由定理6.3和定理6.5可知驻定解不稳定。驻定解的稳定性态令将1）中方程组化为一次近似方程组为其特征根，由定理6.3和定理6.5可知驻定解渐近稳定。2）先求出奇点。解方程组得，故系统2）有奇点为和。再研究驻定解的稳定性态。一般地，对于系统，它在驻定解的一次近似方程组为，其中方程组的系数矩阵称为函数关于的雅可比矩阵。在此题中，驻定解的一次近似方程组为，所以系

5、统2）零解的一次近似方程组为，有正实部的特征根，由定理6.3和定理6.5可知零解不稳定。系统2）在的一次近似方程组为特征根为，显然有正实部的特征根，由定理6.3和定理6.5可知驻定解不稳定。评注：系统的常数解即为驻定解，对应到相平面上就是奇点。本题1）的解法是先将驻定解平移至零解，然后利用它的一次近似系统的零解稳定性来研究非线性系统零解的稳定。本题2）给出得到一次近似系统的另一种方法，是将系统在奇点处按泰勒公式展开取线性主部即可。6-4研究下列方程（组）零解的稳定性。1）（1）2），为常数。解1）令，则方程（1）可化为为（2）则，因为所以由霍维兹定理得，特征根均具有负实部，因而（

6、2）的零解即（1）的零解渐近稳定。2），，所以，当时，特征根均具有负实部，方程组的零解是渐近稳定的；当时，有正实部的特征根，方程组的零解是不稳定的；当时，没有正实部的特征根，且具有零实部的根的初级因子的次数等于1，故方程组的零解是稳定的（但非渐近稳定）。评注：高阶方程零解的稳定性可化为与之等价的一阶线性微分方程组零解的稳定性问题来研究，而常系数一阶线性微分方程组零解的稳定性可归结为它的特征根的问题。注意霍维兹定理的应用。6-5某自激振动系统以数学形式表示如下（范得坡方程）试讨论系统的平衡状态的稳定性态。解令，则原方程化为，一次近似方程组为，由，得，具有正实部的根，由定理6.3和定

7、理6.5得方程组的零解不稳定，因而，所讨论系统的平衡状态是不稳定的。评注：先将高阶方程化为与之等价的一阶线性微分方程组，再研究方程组的一次近似系统，应用定理6.5得到原系统的稳定性。6-6研究下列方程组零解的稳定性：1）2）3）4）（为参数）解1）取定正函数，，则定负，所以由定理6.6知方程组的零解是渐近稳定的。2）取变号函数，则定正，故在原点的邻域内定正。由于是变号函数，故在原点的任意小邻域内都至少存在某点使，故方程组的零解是不稳定的。3）取正定函数，则有方程组的零解是稳定的。