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1、6.1引言n阶微分方程：做变换：则n阶微分方程可以用一阶方程组设给定方程组（6.1）的初始条件为考虑包含点（6.1）的某区域所谓在域上关于局部满足利普希茨条件是指对于内任意点存在闭邻域满足利普希茨条件，即存在常数而使得不等式：关于与写成向量形式：对所有如果向量函数在域满足利普希茨条件，则方程组（6.1）存在唯一解存在唯一性定理成立。上连续且关于如果向量函数解的延拓与连续性定理续，且关于它在区间这里内连在某域条件的解满足局部里普希茨条件，则方程组（6.1）的满足初始到或者使点可以延拓，或者延拓任意
2、接近区域的边界。上连续，而且可微性定理在域及如果向量函数确定把方程（6.1）化为：作为内连续，那么方程组（6.1）由初始条件的函数，在存在范围内是连续可微。的解（6.3）邻近的解的性态，通常先利用变换:(6.28)为研究（6.1）的特解其中此时显然有：（6.4）6.2稳定性的基本概念定义6.1设是系统(6.3)适合初值条件的解(1)若使得只要对一切恒有则称系统(6.3)的零解是稳定的。(2)若1)是稳定的;2)使得只要就有则称系统(6.3)的零解是渐近稳定的;区域称为吸引域;如果吸引域是全空间,
3、则称稳定的.是全局渐近(3)若是不稳定的。都但则称与使6.3相平面现在讨论二阶微分方程组（6.5）它的解如果把时间t当做参数，仅考虑x，y为坐标的（欧氏）空间，此空间成为方程组（6.5）的相平面（若方程组是高阶的，则称为相空间）。在相平面（相空间）中方程组的曲线称为轨线。对一般的方程组（6.5）在相平面上一个点可能有不止一条轨线经过。但如果方程组（6.5）是驻定方程组，即其右端函数不显含时间t的情形，此时（6.5）式变成：（6.6）（6.7）附注：在相平面，驻定方程组（6.7）的轨线不相交。同时
4、满足（6.7）的奇点，显然称为驻定方程组是方程组的解。的点（6.8）方程（6.7）的另一形式：（6.9）其中，根据线性代数理论可以通过非奇异的实线性变换特征方程把线性方程组（6.8）化成标准形式，其系数为下列四种形式：（6.10）为实数。这些标准形式是根据方程组（6.8）的则此奇点还是唯一的。显然，坐标原点是奇点。如果方程组的系数满足条件（6.11），且当的根（称为特征根）的性质来决定的。定理时奇点为结点为实根，则，零解为不稳定的。如果二阶线性驻定方程组（6.8）的系数满足条件（6.9），则方程
5、的零解（奇点）将依特征方程（6.11）的根的性质而分别有如下的不同特性：1）如果特征方程的根即：时奇点为鞍点时奇点和对应的零解均为不稳定的；当结点是稳定的，而对应的零解为渐进稳定的，但当则当时为不稳定的。时奇点为中心，零解为稳定但非渐近稳定的。3）如果特征方程的根为共轭复根，即稳定的，而零解为渐近稳定的，但当定的，而当2）如果特征方程具有重根时奇点和对应的零解均时奇点和对应的解均为不稳定的；当时焦点是稳定的，对应的零解为渐近稳奇点为焦点，且当时，这两类结点均为的情形奇点为奇结点。又当则奇点通常为
6、退化结点，但在6.4由线性近似系统判定稳定性称系统(6.13)的线性近似系统为(6.12)设为(6.12)的解,利用TayLor公式可将(6.12)化为(6.14)(6.13)定理(1)若矩阵A的全部特征值都具有负实部,则系统(6.12)的零解是渐近稳定的;(2)若矩阵A的全部特征值中至少有一个具有正实部,则系统(6.12)的零解是不稳定的.定理(Hurwitz准则)实系数n次代数方程的所有根具有负实部(包括负实根)的充分必要条件是:定理若特征方程没有零根或零实部的根，则非方程组（6.13）的零
7、解的稳定性态与其线性近似的方程组（6.14）的零解的稳定性态一致。6.5判定稳定性的Liapunov函数法定义6.5设若且当时,则称函数在上是常正(常负)的;若函数且当时,则称在上是定正(定负)的;常常正或常负的函数统称为常号函数;定正或定负的函数统称为定号函数.若且在的任意领域内均既有使的点,也有使的点,则称函数在上是变号的.定理6.1(稳定性的Liapunov判别法)设有定义在上的定正(定负)函数表示沿系统(6.2)的轨线的全导数(1)若在上是常负(常正)的,则是稳定的;(2)若在上是定负(
8、定正)的,则是渐近稳定的;(3)若在上是定正(定负)的,则是不稳定的;用来判定稳定性的这种函数称为Liapunov函数,也称为函数.内除附注1若定正(定负),则常负(常正),但集合是渐近稳定的.外不含有系统(6.2)的整条轨线,附注2若在的邻域内是变号函数,而定号,则是不稳定的.6.6周期解和极限圈例对二阶非线性驻定方程组由（6.16）可知当如取极坐标则方程组（6.15）可化为（6.15）（6.16）时和及即有两个特解第一个解即为原点，是一奇点。而第二个解在相平面上是半径等于，轨线是沿着顺时针方
