2014届高考数学一轮必备考情分析学案：2.5《对数与对数函数》

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1、2.5对数与对数函数考情分析1．考查对数函数的定义域与值域．2．考查对数函数的图象与性质的应用．3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质．4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系．基础知识1．对数的概念(1)对数的定义如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a＞0且a≠1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为eln_N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①alogaN＝N；②l

2、ogaaN＝N(a＞0且a≠1)．(2)对数的重要公式①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.(3)对数的运算法则如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝logaM.3．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1[来源:学科网ZXXK]图象性质[来源:Zxxk.Com][来源:学科网ZXXK]定义域：(0，＋∞)值

3、域：R过点(1,0)当x＞1时，y＞0当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数4.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．注意事项1.对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．2.解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．3.画对数函数4.对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3

4、)利用中间量(0或1)．(4)化同真数后利用图象比较．典型例题题型一　对数式的化简与求值【例1】计算：（1）；（2）；（3）解：（1）原式（2）原式（3）原式【变式1】已知，求的值解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴题型二　对数值的大小比较【例2】►已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log3)，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是(　　)．A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．a＜b＜c解析　log3＝－log23＝－log49，b

5、＝f(log3)＝f(－log49)＝f(log49)，log47＜log49,0.2－0.6＝－＝＞＝2＞log49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f(0.2－0.6)＜f(log3)＜f(log47)，即c＜b＜a，故选B.答案　B【变式2】设a＝log32，b＝ln2，c＝5－，则(　　)．A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a解析　法一　a＝log32＝，b＝ln2＝，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c＝5

6、－＝，而＞2＝log24＞log23，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选C.法二　a＝log32＝，b＝ln2＝，1＜log2e＜log23＜2，∴＜＜＜1；c＝5－＝＜＝，所以c＜a＜b，故选C.答案　C题型三　对数函数性质的应用【例3】►已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0,1]上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围．.解　∵a＞0，且a≠1，∴u＝2－ax在[0,1]上是关于x的减函数．又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数，∴函数y＝logau是关于u

7、的增函数，且对x∈[0,1]时，u＝2－ax恒为正数．其充要条件是，即1＜a＜2.∴a的取值范围是(1,2)．【变式3】已知f(x)＝log4(4x－1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间上的值域．解　(1)由4x－1>0解得x>0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)设0

8、15，因此f(x)在上的值域为[0，log415]．　重难点突破【例1】设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.【例2】►(2013辽宁改编)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．巩固提高1．2log510＋log50.25＝(　　)．　A．