第9章压杆稳定

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1、第9章压杆稳定9.1概述9.2两端铰支细长压杆的临界压力9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力9.4欧拉公式的适用范围经验公式9.5压杆的稳定校核9.1.概述摇臂挺杆气阀内燃机挺杆工作台活塞杆细长杠件受压磨床活塞杆内燃机连杆活塞连杆细长杆受压失稳对细长压杆，当压力逐渐增加，但小于某一极限值时，杆件一直保持直线形状的平衡。这表明压杆直线形状的平衡是稳定的。当压力逐渐增加到某一极限时，压杆的直线平衡变为不稳定，将转变为曲线形状的平衡。这时如再用微小的侧向干扰力使其发生轻微弯曲，干扰力解除后，它将保持

2、曲线形状的平衡，不能恢复原有直线形状。上述压力的极限值称为临界压力或临界力，记为Pcr。压杆丧失其直线形状，称为丧失稳定，简称失稳，也称为屈曲(buck)。薄壁容器失稳梁或板条失稳9.2两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支的细长压杆截面x处的内力(此处压力P取绝对值，而v与M的符号与梁的内力符号一致)(a)对微小的弯曲变形，挠曲线的近似微分方程为（6.5）式，即由于两端是球铰，允许杆件在任意纵向平面内发生弯曲变形，因而杆件的微小弯曲变形一定发生于抗弯能力最小的纵向平面内。所以，上式中的I应是横截面

3、最小的惯性矩。代(a)入(b)(b)(c)引用记号于是(c)式可以写成以上微分方程的通解为式中A、B为积分常数。(d)杆件的边界条件是x=0和x=l时，v=0当x=0，v=0时则当x=l，v=0时(＊)由(*)知A≠0，否则v≡0，这与假定压杆处于临界状态不符。故必有由此求得回代到式(d)则有因为n是0、1、2、…等整数中的任一个整数，故上式表明，使杆件保持为曲线平衡的压力，理论上是多值的。在这些压力中，使杆件保持微小弯曲的最小压力，才是临界压力Pcr。如取n=0，则Pcr=0，表示杆件上并无压

4、力，自然不是我们所需要的。如取n=2，则如取n=3，则显然对于n≥2，如果在曲线拐点处没有支座，其变形是不可能实现的。如取n=1，则这是可能出现的。故临界力大小为这是两端铰支细长压杆临界力的计算公式，也称为两端铰支压杆的欧拉(Euler)公式。(9.1)例1柴油机的挺杆是钢制空心圆管，外径和内径分别为12mm和10mm，杆长383mm，钢的E=210GPa。根据动力计算，挺杆上的最大压力P=2290N。规定的稳定安全系数为nst=3~5。试校核挺杆的稳定性。解：挺杆横截面的惯性矩是由公式（9.1

5、）算出挺杆的临界力为临界压力与实际最大压力之比，为压杆的工作安全系数，即规定的稳定安全系数为nst=3~5，所以挺杆满足稳定要求。前面我们求取了压杆的临界力，但是表达式中的系数A并没有得到。压杆过渡为曲线平衡后，轴线弯成半个正弦波曲线。A为为杆件中点（即l/2处）的挠度。它的数值很小，但却是未定的，若以横坐标表中点的挠度d，纵坐标表压力P。当P小于Pcr时，杆件的直线平衡是稳定的，d=0，P与d的关系是垂直的直线OA。当P达到Pcr时，直线平衡变为不稳定，过渡为曲线平衡后，P与d的关系为水平直线

6、AB。9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力千斤顶螺杆千斤顶螺杆就是一根压杆(如右图)，其下端可简化成固定端，面上端因可与顶起的重物共同作微小的位移，所以简化成自由端。这样就成为下端固定、上端自由的压杆。把变形曲线延伸一倍，如图中假想线所示。可见一端固定、另一端自由且长为l的压杆的挠曲线，与两端铰支、长为2l的压杆的挠曲线的上半部分相同。所以，对于一端固定、另一端自由且长为l的压杆，其临界压力等于两端铰支长为2l的压杆的临界压力，即一端固定、一端自由的压杆(9.2)两端固支压杆两端固支压杆把长为

7、l/2的中间部分CD看作是两端铰支的压杆，其临界力为(9.3)一端固支一端简支压杆对这种情况，可近似地把大约长为0.7l的CB部分看作是两端铰支压杆。于是计算临界压力的公式可写成一端固支一端简支压杆(9.4)公式(9.1)、(9.2)、(9.3)和(9.4)可以统一写成这是欧拉公式的普遍形式。式中ml表示把压杆折算成两端铰支杆的长度，称为相当长度，m称为长度系数。(9.5)压杆的约束条件长度系数两端铰支m=1一端固定，另一端自由m=2两端固定m=0.5一端固定，另一端铰支m=0.7表9.1压杆的

8、长度系数例2由压杆挠曲线的微分方程，导出一端固定、另一端铰支杆件的Euler公式。解：一端固定、另一端铰支的压杆失稳后，计算简图如图示。为使杆件平衡，上端铰支座应有横向反力Q。于是挠曲线的微分方程应为引用记号，上式可以写成以上微分方程方程的通解为由此求出v的一阶导数为杆件的边界条件是x=0时x=l时考虑以上边界条件，得这是关于A、B和Q/P的齐次线性方程组。因为它们不能皆等于零，即要求以上齐次线性方程组必须有非零的解，所以其系数行列式应等于零。故有展开得上列超越方程可用图解法求解。以kl为横坐标