第10章 压杆稳定

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1、第10章压杆稳定10.1压杆稳定的概念在前面讨论压杆的强度问题时，认为只要满足直杆受压时的强度条件，就能保证压杆的正常工作。这个结论只适用于短粗压杆。而细长压杆在轴向压力作用下，其破坏的形式与强度问题截然不同。例如，一根长300mm的钢制直杆(锯条)，其横截面的宽度11mm和厚度0.6mm，材料的抗压许用应力等于170MPa，如果按照其抗压强度计算，其抗压承载力应为1122N。但是实际上，约承受4N的轴向压力时，直杆就发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能力从而导致破坏。它明确反映了压杆失稳与强度失效不

2、同。1907年8月9日，在加拿大离魁北克城14.4Km横跨圣劳伦斯河的大铁桥在施工中倒塌。灾变发生在当日收工前15分钟，桥上74人坠河遇难。原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳所致。杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构，屋面采用预应力密肋网架结构，密肋大梁横截面(600mm×1400mm)，屋面采用现浇板，板厚120mm。2003年2月18日晚19时，当施工到26～28轴时，支模架失稳坍塌，造成重大伤亡事故。为了说明问题，取如图10.1a所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力F，使杆在直线形状下处于平

3、衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，则当杆承受的轴向压力数值不同时，其结果也截然不同。当杆承受的轴向压力数值F小于某一数值Fcr时，在撤去干扰力以后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，如图10.1a、b所示，这种能保持原有的直线平衡状态的平衡称为稳定的平衡；当杆承受的轴向压力数值F逐渐增大到（甚至超过）某一数值Fcr时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图10.1c、d所示，则不能保持原有的直线平衡状态的平衡称为不稳定的平衡。如果力F

4、继续增大，则杆继续弯曲，产生显著的变形，发生突然破坏。图10.1上述现象表明，在轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或者压杆失稳。显然压杆是否失稳取决于轴向压力的数值，压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力，用Fcr表示。当压杆所受的轴向压力F小于临界力Fcr时，杆件就能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有稳定性；而当压杆所受的轴向压力F等于或者大于Fcr时，杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。10.2临界力和临

5、界应力10.2.1细长压杆临界力计算公式——欧拉公式从上面的讨论可知，压杆在临界力作用下，其直线形状的平衡将由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，此时，即使撤去侧向干扰力，压杆仍然将保持在微弯状态下的平衡。当然，如果压力超过这个临界力，弯曲变形将明显增大。所以，上面使压杆在微弯状态下保持平衡的最小的轴向压力，即为压杆的临界力。经验表明，不同约束条件下细长压杆临界力计算公式——欧拉公式为:（10.1）式中μl称为折算长度，表示将杆端约束条件不同的压杆计算长度l折算成两端铰支压杆的长度，μ称为长度系数。几种不同杆端约束情况下的长

6、度系数μ值列于表10.1中。从表10.1可以看出，两端铰支时，压杆在临界力作用下的挠曲线为半波正弦曲线；而一端固定、另一端铰支，计算长度为l的压杆的挠曲线，其部分挠曲线（0.7l）与长为l的两端铰支的压杆的挠曲线的形状相同，因此，在这种约束条件下，折算长度为0.7l。其它约束条件下的长度系数和折算长度可依此类推。表11.1压杆长度系数支承情况两端铰支一端固定一端铰支两端固定一端固定一端自由μ值1.00.70.52挠曲线形状10.2.2欧拉公式的适用范围1、临界应力和柔度有了计算细长压杆临界力的欧拉公式，在进行压稳计算时

7、，需要知道临界应力，当压杆在临界力Fcr作用下处于直线临界状态的平衡时，其横截面上的压应力等于临界力Fcr除以横截面面积A，称为临界应力，用σcr表示，即将式（10.1）代入上式，得若将压杆的惯性矩I写成式中i称为压杆横截面的惯性半径。于是临界应力可写为（10.2）上式为计算压杆临界应力的欧拉公式，式中λ称为压杆的柔度（或称长细比）。则：(10.3)柔度λ是一个无量纲的量，其大小与压杆的长度系数μ、杆长l及惯性半径i有关。由于压杆的长度系数μ决定于压杆的支承情况，惯性半径i决定于截面的形状与尺寸，所以，从物理意义上看，

8、柔度λ综合地反映了压杆的长度、截面的形状与尺寸以及支承情况对临界力的影响。从式（10.2）还可以看出，如果压杆的柔度值越大，则其临界应力越小，压杆就越容易失稳。2、欧拉公式的适用范围欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导出的，而应用此微分方程时，材料必须服从虎克定理。因此，欧拉公式的适用范围应当是压杆的临界应力σcr不超过材料的比例极