高一数学等比数列的前n项和

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等比数列的前n项和 等差数列{an}等比数列{an}定义an+1-an=d(常数)an+1／an=q(不为零的常数)通项an=a1+(n–1)dan-am=(n–m)dan=a1qn-1an／am=qn-m⑴公式⑵推导方法①归纳猜想验证法②首尾相咬累加法①归纳猜想验证法②首尾相咬累乘法性质若m+n=r+s,m、n、r、s∈N*则am+an=ar+as若m+n=r+s,m、n、r、s∈N*则am·an=ar·as前n项和Sn⑴公式⑵推导方法（a1+an）nSn=2=na1+n(n–1)2d化零为整法 问题：等比数列｛an｝，如果已知a1,q,n怎样表示Sn?Sn=a1+a2+···+an解：=a1+a1q+a1q2+···+a1qn-1=a1(1+q+q2+···+qn-1) 尝试：S1=a1S2=a1+a1q=a1(1+q)S3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)讨论q≠1时a1(1–q3)1-q=a1(1–q2)1-q=a1(1–q1)1-q=猜想：Sna1(1–qn)1-q=验证：an=Sn-Sn-1a1(1–qn)1-q=-a1(1–qn-1)1-q=a1qn-1a1(qn-1–qn)1-q=当n≥2时当n=1时a1=S1亦满足上式∴an=a1qn-1∴Sn(q≠1)a1(1–qn)1-q= a1(1–qn)1-q=Sn=a1+a2+···+an=a1+a1q+a1q2+···+a1qn-1=a1(1+q+q2+···+qn-1)当q≠1时即1+q+q2+···+qn-1…………（＊）1–qn1-q=证明（＊）式(1+q+q2+···+qn-1)(1-q)=1+q+q2+···+qn-1-(q+q2+···+qn-1+qn)=1-qn∴（＊）式成立 相减(1–q)Sn=a1-a1qn=a1(1–qn)∴当1–q≠0,即q≠1时，Sna1(1–qn)1-q=当q=1时，Sn=na1错项相减法：Sn=a1+a1q+a1q2+···+a1qn-1qSn=a1q+a1q2+···+a1qn-1+a1qn 等比数列｛an｝前n项和公式为当q≠1时Sna1(1–qn)1-q=当q＝1时Sn=na1=a1-anq1-q 练习：（1）1＋2＋4＋…＋263＝（2）1－2＋4＋…＋(－2)n-1=（3）等比数列{an}中，a1=8,q=,an=,则Sn=（4）等比数列{an}中，a1=2，S3=26,则q=264-11–(-2)n3312-4或3 例1：求通项为an=2n+2n-1的数列的前n项和解：设bn=2n,且对应的前n项和为Cn=2n-1,对应的前n项和为′Sn″Sn则an=bn＋Cn，Sn=+′Sn″Sn∴′Sn=2(1–2n)1–2=2(2n–1)=n2∴Sn=′Sn″Sn+=2n+1+n2-2∴″Sn=1+(2n-1)2n 例2：求和(x+)+(x2+)+(x3+)+…+(xn+)1y1y21y31yn（1）当x≠0,y≠1时（2）当x≠0时解：当x=1时Sn=(x+x2+…+xn)+(++…+)1y1y21yn（1）Sn=1y(1-)1yn1-1y=n+yn+1-ynyn-1当x≠1时Sn=x(1-xn)1-x1y(1-)1yn1-1y+x(1-xn)1-xyn+1-ynyn-1+=n+(2)只须注意再讨论y是否等于1的取值情况 例3：求数列：1,2x,3x2,…，nxn-1,…（x≠0)的前n项和解：当x=1时Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)2当x≠1时Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1xSn=x+2x2+…+(n-1)xn-1+nxn错项相减(1–x)Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=1-xn1-x-nxn∴Sn=1-xn(1-x)2-nxn1-x=(1–x)21–(1+n)xn+xn+1综上所述：当x=1时Sn=n(n+1)2当x≠1时Sn=(1–x)21–(1+n)xn+xn+1 等差数列{an}等比数列{an}定义an+1-an=d(常数)an+1／an=q(不为零的常数)通项an=a1+(n–1)dan-am=(n–m)dan=a1qn-1an／am=qn-m⑴公式⑵推导方法①归纳猜想验证法②首尾相咬累加法①归纳猜想验证法②首尾相咬累乘法性质若m+n=r+s,m、n、r、s∈N*则am+an=ar+as若m+n=r+s,m、n、r、s∈N*则am·an=ar·as前n项和Sn⑴公式⑵推导方法（a1+an）nSn=2=na1+n(n–1)2d化零为整法当q＝1时Sn=na1当q≠1时Sna1(1–qn)1-q==a1-anq1-q①归纳猜想验证法②错项相减法 方法三：Sn=a1+a2+···+an=a1+a1q+a1q2+···+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+···+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)∴(1–q)Sn=a1–qan∴当q≠1时Sna1(1–qn)1-q==a1-anq1-q当q＝1时Sn=na1 方法四：∵…∴当q≠1时Sna1(1–qn)1-q==a1-anq1-q当q＝1时Sn=na1