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1、高一数学等比数列的前n项和【基础知识精讲】1.基础知识图表2.前n项和公式若数列｛an｝是公比为q的等比数列，则它的前n项和公式是也就是说，公比为q的等比数列的前n项和是q的分段函数，分段的界限在q=1处.当q≠1时，求等比数列前n项和Sn的方法一般是利用Sn的表达式的特点，首先在Sn=a1+a1q+…+a1qn-1两边同乘以该数列的公比q，使得等式右边各项都向右错了一位；然后通过求Sn-qSn把相同的项消去，达到简化的目的；最后从中解出Sn.这种方法(俗称“错位相减法”)很巧妙，而且对这类数列的求和具有普遍性，应
2、该很好地掌握它.求等比数列前n项和的方法还有一些，下面再介绍其中的一种：当q=1时，Sn=na1当q≠1时，Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1)-a1qn=a1+q·Sn-a1qn=a1(1-qn)+q·Sn∴(1-q)Sn=a1(1-qn),∴Sn=.在具体运用等比数列前n项和公式时如果考虑不周常会出错.例如，求和：1+x+x2+…+xn，认为其和为是错误的.【重点难点解析】本节重点是等比数列前n项和公式及其应用.难点是求和公式的推导.等比数列前n项
3、和公式要注意对公比q进行讨论，分q=1和q≠1两种情况.求等比数列前n项和的思想和方法在求一些特殊数列的前n项和中经常运用到.例1设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求公比q的值.分析本题主要考查等比数列求和公式的基础知识，逻辑推理能力和运算能力.在求解中要全面考虑公式q=1和q≠1两种情况，否则就会造成失误.解法一：若q=1，则S3+S6=3a1+6a1=9a1≠2S9,所以q≠1.依等比数列前n项和公式有+=,整理得q3(2q6-q3-1)=0.因为q≠0，所以2q6-q3-1=0,(q3
4、-1)(2q3+1)=0.因为q≠1，所以q3≠1,所以q3=-，q=-=-.解法二：因为S3+S6=2S9，所以2(a1+a2+a3)+a4+a5+a6=2(a1+a2+a3+…+a9),此即-(a4+a5+a6)=2(a7+a8+a9)，-(a4+a5+a6)=2q3(a4+a5+a6)，由此解得q3=-,q=-.评析在对等比数列前n项和公式的运用中，要注意充分运用整体代入的方法，如解法二中就利用了a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)这一性质，使运算量减少，也避免了q的讨论.例2设等比数列的首项为a(a＞
5、0)公比为q(q＞0)，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q.解：由Sn=80,S2n=6560,故q≠1化简得 ∴有③知 ∵a＞0，q＞1，等比数列递增数列，故前n项中最大项为an.∴an=aqn-1=54④将③代入①化简得a=q-1⑤化简得3a=2q⑥由⑤，⑥联立方程组解得a=2,q=3例3等比数列｛an｝的前n和等于2，紧接其后的2n项和等于12，再紧接其后的3n项和为S，求S.分析本题主要考查等比数列前n项和公式的应用.本题实际为已知Sn=2，S3n-Sn=12，要求S
6、6n-S3n的值.由等比数列知，前n项成等比数列，紧接其后的2n项也成等比数列，再紧接的3n项也成等比数列，可分别求和列方程.解：在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.设前n项和为S1，第2个n项和为S2=S1q，由②式得q+q2=6，所以q=2或q=-3.将q=2代入③式得S=112，将q=-3代入③式得S=-378.例4求数列1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…(a≠0)的前n项和Sn.分析要求数列前n项的和，必须先求出数列的通项公式.解：据题设条件分析可知：an=an-1+an+an
7、+1+…+a2n-2①当a=1时，an=n,∴Sn=.②当a≠1时，Sn==-.(1)当a≠±1时，Sn=［-］=［(1-an)(1-an+1)］(2)当a=-1时，Sn=［+n］评析①由于通项公式本身是一个等比数列的求和，而公比是字母a，故必须分两种情况(a=1及a≠1)来讨论.②在进一步求和时，由于又出现公比为a2的等比数列求和，故又得分a2=1及a2≠1来讨论，由于a=1已讨论，因此本题应分a=1，a=-1，a≠±1三种情况来讨论. 【难题巧解点拨】例1设等比数列｛an｝的公比与前n项和分别为q与Sn，且q≠
8、1,S10=8.求的值.分析一个条件不能确定a1与q.不妨将S10与S20用a1、q表示出来，进行对比，兴许有点门道.解：∵=8,∴==8.评析一些数列问题中的基本量难以确定或不能确定时，不妨设而不求，整体代换.其实，本题尚有以下巧解：S20=S10+a11+a12+…+a20=S10+q10S10=S10(1+q10),故=S10=8.例2设等比数列｛an
