计算方法-矩阵特征值的数值计算方法

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heut-yjs@163.comheuuyjs@163.com数值计算方法(2011)河北联合大学 第7章矩阵特征值的数值计算方法 12345理论基础幂法规范幂法反幂法QR分解法主要内容4参考文献6 概念回顾方阵的特征值与特征向量特性回顾特征值与特征向量的性质第一节理论基础 A：n阶方阵，若数和n维非零列向量X使关系式成立，则称为方阵A的特征值，X称为A的对应于特征值的特征向量。概念回顾定义1矩阵的特征值与特征向量 如取则特征向量是特征值,是特征向量.概念回顾矩阵的特征值与特征向量 称为方阵A的特征多项式显然，A的特征值就是特征方程的根,也称特征根。（重根按重数计算），n阶方阵A有n个特征值。注意特征方程、特征根定义2概念回顾矩阵的特征值与特征向量 求矩阵的特征值和特征向量。矩阵的特征多项式为令特征值为当时，求解齐次线性方程组应用范例解析 方程组从而解得基础解系的全部特征向量为其中k为任意非零常数。 当时，求解齐次线性方程组得对应的方程组为从而解得基础解系全部特征向量为其中数是不同时为零的任意常数。 如果矩阵满足则称是幂等矩阵。（幂等矩阵的特征值只能是0或1）定义3 设n阶方阵A的n个特征值为则必有（1）（2）其中是矩阵A的主对角线元素之和，称为矩阵的迹，记作设n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值全不为零。特性回顾定理1特征值与特征向量的性质推论：推论： 设n阶方阵A的n个特征值为则必有（1）（2）其中是矩阵A的主对角线元素之和，称为矩阵的迹，记作设n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值全不为零。特性回顾定理1特征值与特征向量的性质推论：定理2推论： 设分别为方阵的属于特征值的特征向量，如果各不相同，那么向量组线性无关。和设为n阶矩阵，则矩阵A的特征值相同。特征向量间的线性相关性定理3定理4特性回顾 设是n阶矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则（1）对任意常数，数是矩阵的特征值；（2）对任意常数，数是矩阵的特征值；（3）对任意正整数，是矩阵的特征值；（4）当矩阵可逆时，是矩阵的特征值；特征值并且仍然是矩阵的分别对应于特征值的特征向量。定理5 类似：若是A的特征值，的特征值；（其中） 的特征向量。定理6设3阶方阵的特征值为1，2，3，求应用范例解析设，则因为的特征值为1，2，3，所以的特征值为，，于是 定理6 定理7 定理8 应用范例用幂法计算矩阵的按模最大的特征值系程序设计A={{1,-1},{2,-6}};MatrixForm[%]xa={-0.5,1};Do[xb=A.xa;Print[k,"",xb,"",xb[[1]]/xa[[1]],""xb[[2]]/xa[[2]]];xa=xb/Max[Abs[xb]],{k,1,15}]Eigensystem[N[A]];MatrixForm[%] 1{-0.5,1}{-1.5,-7.}3.-7.2{-0.214286,-1.}{0.785714,5.57143}-3.66667-5.571433{0.141026,1.}{-0.858974,-5.71795}-6.09091-5.717954{-0.150224,-1.}{0.849776,5.69955}-5.65672-5.699555{0.149095,1.}{-0.850905,-5.70181}-5.70712-5.701816{-0.149234,-1.}{0.850766,5.70153}-5.70088-5.701537{0.149217,1.}{-0.850783,-5.70157}-5.70165-5.701578{-0.149219,-1.}{0.850781,5.70156}-5.70155-5.701569{0.149219,1.}{-0.850781,-5.70156}-5.70156-5.7015610{-0.149219,-1.}{0.850781,5.70156}-5.70156-5.70156运行结果 应用范例程序设计A={{1,1,0.5},{1,1,0.25},{0.5,0.25,2}};MatrixForm[%]va={1,1,1};Do[vb=A.va;Print[k,"",vb,"",vb[[2]]/va[[2]]];va=vb,{k,1,20}]Eigensystem[N[A]];MatrixForm[%] 1{2.5,2.25,2.75}2.253{15.2188,13.3906,19.0469}2.462645{96.0293,83.7666,125.511}2.510157{613.714,533.719,814.025}2.5274{3939.55,3422.47,5251.63}2.533411{25327.1,21994.9,33820.}2.5354613{162910.,141460.,217665.}2.536166615{1.0480610,910025.,1.400610}2.5361666617{6.7429910,5.854810,9.0117110}2.5364877719{4.3383710,3.766910,5.7981710}2.5365187820{1.1004410,9.5548110,1.4707310}2.53652运行结果 A={{3,2,1},{-1,8,2},{1,4,16}};MatrixForm[%]y={-1,1,0.5};Do[x=LinearSolve[A,y];Print[k,"",y,"",x,""];y=x/Max[Abs[x]],{k,1,20}]u=y[[1]]/x[[1]]v=yEigensystem[N[A]];MatrixForm[%]反幂法的规范运算程序设计 第四节QR分解法 QR分解 QR分解的思路分解变换QR分解 Clear[]A={{9,4,2},{2,8,4},{6,7,1}};MatrixForm[%]Det[A]{q,r}=QRDecomposition[A]//N;Q=%[[1]];MatrixForm[%]Det[%]R=%%%%[[2]];MatrixForm[%]Transpose[Q].R;MatrixForm[%]Eigenvalues[N[A]] Clear[A,H,Q]A={{5,-3,2},{6,-4,4},{4,-4,5}};MatrixForm[%]Det[A]Do[{q,r}=QRDecomposition[H]//N;H=r.Transpose[q];Print["k=",k];Print["Q=",MatrixForm[Transpose[q]]];Print["H=",MatrixForm[H]],{k,1,10}]Eigenvalues[N[A]]