计算方法(九)矩阵特征对的数值解法

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1、第九章矩阵特征对的数值解法幂法、反幂法：求极端特征对本章考虑全部特征对解法！9.1求特征方程根求三对角矩阵（Jacobi矩阵）的特征对特征多项式为按最后一列展开，得可以证明，和的根都是实单根，满足序列的变号数定义为在的变号数。遇到时，去掉。例如，则定理9.1的变号数就是三对角矩阵在上的特征值个数。进而，若在区间则上的特征值个数为线性代数中如下结果可用于估计特征值所在区间：1）矩阵的迹=的特征值之和2）3）圆盘定理：的特征值均位于以下个圆盘的并集中：特别地，个圆盘的相交部分中必有个特征根，孤立的圆盘中必有一个特征根。求Jacobi矩阵之特征对的攻略：1）综合利用变号数、圆盘定

2、理等确定有根区间。2）在有根区间上用二分法或Newton法求的根。3）用反幂法求的特征向量例1.求在（0，3.5）中的全部特征值：解.先计算变号数。由得从而即在[0,3.5]上有两个根。进一步，可以算出因此，在（0,1.5）和（1.5，3.5）上各有一个根。可以用二分法求出：上有单根。上有单根。……上有单根。上有单根。9.1.2对称矩阵化为Jacobi矩阵定义.次对角线以下元素都为零的准上三角矩阵称为Hessenberg矩阵（H阵）。若次对角元素皆非零，则称为不可约Hessenberg矩阵。对方阵可以通过Household变换化成H阵：选取其中使得于是，如此进行步之后，得到

3、Hessenberg矩阵特别地，当是对称矩阵时，成为Jacobi阵。可以用变号数方法以及二分法等等求解。例.求对称矩阵特征值解.先计算Househould矩阵：???算错了？作用到得算出由知在（0，5）间至少有一个根。类似可以看出在（5，8）和（14，20）间各有一个根。再用二分法或Newton法即可求出特征值。9.3方法9.3.1基本公式已知，任意矩阵可以分解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积。可惜的是不相似于，不能直接用来求特征值。但是，毕竟是上三角矩阵。相似变换也许在某种程度上保留了上三角矩阵的潜质。由此，定义迭代法：1）令2）做QR分解反转相乘