电动力学第1章习题

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1、第1章习题第2讲课下作业:教材第33-34页,1、2、4。1、根据算符▽的微分性与矢量性,推导下列公式:2、设u是空间坐标x,y,z的函数,证明:4、应用高斯定理证明应用斯托克斯(Stokes)定理,证明第3讲课下作业:教材第34-35页,5、6。5、已知一个电荷系统的偶极距定义为:利用电荷守恒定律,证明的变化率:6、若为常矢量,证明除点以外,矢量的旋度等于标量的梯度的负值。即:,其中R为坐标原点到场点的距离,方向由原点指向场点。第13页补充题1:直接给出库仑定律的数学表达式,写明其中各个符号的物理意义。并推导出真空中静电场的下列公式:第4

2、讲课下作业:教材第35页,10。10、证明两个闭合的恒定电流圈之间的作用力大小相等,方向相反(但两个电流元之间的作用力一般并不服从牛顿第三定律)。补充题2:直接给出毕奥-萨伐尔定律的数学表达式,写明其中各个符号的物理意义,并推导出真空中静磁场的下列公式。第5讲课下作业::补充题3:直接给出法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式,写明其中各个符号的物理意义。补充题4:直接给出真空中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式,写明其中各个符号的物理意义。补充题5:设想存在孤立磁荷(磁单极子),试改写Maxwell方程组,以包括磁荷密度ρm和磁流密度Jm

3、的贡献。第6讲课下作业:补充题6:场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式和微分形式,电磁场能量密度和能流密度表达式。补充题7:场和电荷系统的动量守恒定律的积分形式和微分形式,动量密度和动量流密度表达式。第13页习题解答:第2讲课下作业:教材第33-34页,1、2、4。1、根据算符▽的微分性与矢量性,推导下列公式:解:(i)(1)∵∴代入(1)式得:(ii)上式中令:则:∴[毕]2、设u是空间坐标x,y,z的函数,证明:证:(i)(ii)第13页(iii)[毕]4、应用高斯定理证明应用斯托克斯(Stokes)定理,证明证:(1)证明设C为任意非

4、0的常矢量,则第13页事实上,右边三个等式恒成立:(2)证明根据斯托克斯(Stokes)定理:令:,其中为任意非0的常矢量左边:右边:即:由的任意性得[证毕]第3讲课下作业:教材第34-35页,5、6。5、已知一个电荷系统的偶极距定义为:第13页利用电荷守恒定律,证明的变化率:证明:方案1:(参考教材第163-164页)将整个电荷系统视为很多带电粒子的组合,第i个带电离子具有电荷qi和位置xi,速度vi。则,方案2:选取系统内任一确定点x’,此点所在的dV’内,只与t相关,x’、dV’与时间无关。或者说,设带电系统为n个命名体积元,体积元的

5、位置、体积都不随时间变化,但该体积元的电荷密度随时间变化,既体积元固定,电荷流动。故有:第13页注意到在积分边界上jn=0,则有方案3:随体方式,一般方式,普遍方式,带电粒子的位置和体积都随时间发生变化。由于电荷既不会产生,也不会消失,所以,当然也可以利用公式:计算如下:第13页∴方案4:随体方式,一般方式,普遍方式,带电粒子的位置和体积都随时间发生变化。利用公式:∴[证毕]第13页6、若为常矢量,证明除点以外,矢量的旋度等于标量的梯度的负值。即:,其中R为坐标原点到场点的距离,方向由原点指向场点。证:左边:利用∵∴左边(R≠0)右边利用:

6、;∴右边故:[证毕]补充题1:直接给出库仑定律的数学表达式,写明其中各个符号的物理意义。并推导出真空中静电场的下列公式:第13页第4讲课下作业:教材第35页,10。10、证明两个闭合的恒定电流圈之间的作用力大小相等,方向相反(但两个电流元之间的作用力一般并不服从牛顿第三定律)。证:两电流元之间的互作用(i)若电流元互相垂直:即则:,故一般并不满足牛顿第三定律。(ii)两稳定电流圈情况第13页同理:∵且有:,∴[证毕]补充题2:直接给出毕奥-萨伐尔定律的数学表达式,写明其中各个符号的物理意义,并推导出真空中静磁场的下列公式。第5讲课下作业::

7、补充题3:直接给出法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式,写明其中各个符号的物理意义。补充题4:直接给出真空中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式,写明其中各个符号的物理意义。补充题5:设想存在孤立磁荷(磁单极子),试改写Maxwell方程组,以包括磁荷密度ρm和磁流密度Jm的贡献。[解]:在没有磁单极子时,Maxwell方程组为:解1:第13页在有磁单极子时,设磁荷量密度为ρm,则磁场的高斯定理便不再是,而是:      这时,便不再正确。因为对两边取散度,左边为0,而右边为:为了解决这个矛盾,利用磁流的连续性方程:把,改写为:于是便得出,

8、包括磁单极子时的Maxwell方程组:第13页解2:在有磁单极子时,设磁荷量密度为ρm,则磁场的高斯定理便不再是,而是:      这时,便不再正确。因为对两边取散度,左边为0,

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