电动力学第1章习题

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1、第1章习题第2讲课下作业：教材第33-34页，1、2、4。1、根据算符▽的微分性与矢量性，推导下列公式：2、设u是空间坐标x,y,z的函数，证明：4、应用高斯定理证明应用斯托克斯（Stokes）定理，证明第3讲课下作业：教材第34-35页，5、6。5、已知一个电荷系统的偶极距定义为：利用电荷守恒定律,证明的变化率：6、若为常矢量，证明除点以外，矢量的旋度等于标量的梯度的负值。即：,其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。第13页补充题1：直接给出库仑定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义。并推导出真空中静电场的下列公式

2、：第4讲课下作业：教材第35页，10。10、证明两个闭合的恒定电流圈之间的作用力大小相等，方向相反（但两个电流元之间的作用力一般并不服从牛顿第三定律）。补充题2：直接给出毕奥-萨伐尔定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义，并推导出真空中静磁场的下列公式。第5讲课下作业:：补充题3：直接给出法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。补充题4：直接给出真空中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。补充题5：设想存在孤立磁荷（磁单极子），试改写Maxwell方程组，以包括磁荷密度ρm和

3、磁流密度Jm的贡献。第6讲课下作业：补充题6：场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式和微分形式，电磁场能量密度和能流密度表达式。补充题7：场和电荷系统的动量守恒定律的积分形式和微分形式，动量密度和动量流密度表达式。第13页习题解答：第2讲课下作业：教材第33-34页，1、2、4。1、根据算符▽的微分性与矢量性，推导下列公式：解：(i)（1）∵∴代入（1）式得：(ii)上式中令：则：∴[毕]2、设u是空间坐标x,y,z的函数，证明：证：(i)(ii)第13页(iii)[毕]4、应用高斯定理证明应用斯托克斯（Stokes）定理，证明证：（1

4、）证明设C为任意非0的常矢量，则第13页事实上，右边三个等式恒成立：（2）证明根据斯托克斯（Stokes）定理：令：，其中为任意非0的常矢量左边：右边：即：由的任意性得[证毕]第3讲课下作业：教材第34-35页，5、6。5、已知一个电荷系统的偶极距定义为：第13页利用电荷守恒定律,证明的变化率：证明：方案1：（参考教材第163-164页）将整个电荷系统视为很多带电粒子的组合，第i个带电离子具有电荷qi和位置xi,速度vi。则，方案2：选取系统内任一确定点x’，此点所在的dV’内，只与t相关,x’、dV’与时间无关。或者说，设带电系统为

5、n个命名体积元，体积元的位置、体积都不随时间变化，但该体积元的电荷密度随时间变化，既体积元固定，电荷流动。故有：第13页注意到在积分边界上jn=0，则有方案3：随体方式，一般方式，普遍方式，带电粒子的位置和体积都随时间发生变化。由于电荷既不会产生，也不会消失，所以，当然也可以利用公式：计算如下：第13页∴方案4：随体方式，一般方式，普遍方式，带电粒子的位置和体积都随时间发生变化。利用公式：∴[证毕]第13页6、若为常矢量，证明除点以外，矢量的旋度等于标量的梯度的负值。即：,其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。证：左边：利

6、用∵∴左边（R≠0）右边利用：；∴右边故：[证毕]补充题1：直接给出库仑定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义。并推导出真空中静电场的下列公式：第13页第4讲课下作业：教材第35页，10。10、证明两个闭合的恒定电流圈之间的作用力大小相等，方向相反（但两个电流元之间的作用力一般并不服从牛顿第三定律）。证：两电流元之间的互作用（i）若电流元互相垂直：即则：，故一般并不满足牛顿第三定律。（ii）两稳定电流圈情况第13页同理：∵且有：，∴[证毕]补充题2：直接给出毕奥-萨伐尔定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义，并推导出真空中

7、静磁场的下列公式。第5讲课下作业:：补充题3：直接给出法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。补充题4：直接给出真空中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。补充题5：设想存在孤立磁荷（磁单极子），试改写Maxwell方程组，以包括磁荷密度ρm和磁流密度Jm的贡献。[解]：在没有磁单极子时，Maxwell方程组为：解1：第13页在有磁单极子时，设磁荷量密度为ρm，则磁场的高斯定理便不再是，而是：　　　　　　这时，便不再正确。因为对两边取散度，左边为0，而右边为：为了解决这个矛盾，利用

8、磁流的连续性方程：把,改写为：于是便得出，包括磁单极子时的Maxwell方程组：第13页解2：在有磁单极子时，设磁荷量密度为ρm，则磁场的高斯定理便不再是，而是：　　　　　　这时，便不再正确。因为对两边取散度，左边为0，