中学数学建模教学及应用

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1、中学数学建模教学及应用兴宁市田家炳中学曾伟苑21世纪课程改革的一个重要目标就是要加强综合性、应用性内容，重视联系学生生活实际和社会实践。这是在课程、教学中注入素质教育内容的具体要求。因此，进入21世纪以后，数学应用题的数量和分值在会考和高考中将逐步增加，中、低档题目将逐渐齐全，并将在命题中转变传统的学科体系观念，结合生活实际和社会实践，突出理论与知识结合，理论与实践结合，引导学生关心社会、关心未来，实现高考命题改革与中学教育、教学观念改革的结合，成为推动素质教育发展的重要内容。重视和加强中学数学建模与应用，是数学教学为实现上述目标的突破口和出发点。首先，数学应用问题，就是指用数学的方法将一个表

2、面上非数学问题或非完全的数学问题转化成完全形式化的数学问题。求解数学应用问题的思路和方法，其一般步骤是：1.解读：领会题意，并把题中的普通语言，译成数学语言；　2.建模：根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的数学模型，并注意题目对变量的限制条件，加以括注；3.解模：对已经"数学化"的问题，用所学过的数学知识处理，求出解答；4.验核：将数学问题的解代入实际问题核查，舍去不合题意的解，并作答。我们可以用示意图表示为：其次，根据大纲要求和现行教材内容，中学数学建模教学的主要内容有：集合交、并、补的应用，不等式的应用，函数的应用，指数函数和对数函数的应用，三角函数的应用，向量的应用，复数的应用

3、，线性规划的应用，圆锥曲线的应用，等差数列和等比数列的应用，较复杂的计数问题举例，立体几何的应用等。此外，结合时代发展的特点，涉及现代生活的经济统计图表（识别、分析、绘制），数据拟合（最小二乘法），动态规划（货郎担问题，生产计划问题等），网络规划（绘制、计算、优化），矩阵对策，股票、彩票发行模型，风险决策，市场预测，存贮原理，供求模型，蛛网模型，法律与犯罪问题，就业与失业，广告与税款等，以及6有关跨学科的生态平衡、环境保护、人口生命等方面的问题的建模。　　在此基础上，应对上述内容，对其建模的主要类型进行化归。一、建立或化归为函数模型如现实生活中普遍存在着最优化问题----最佳投资、最小成本等，

4、常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。例:在NBA的一场比赛中，某球员跳起投篮，球沿抛物线运行（如图所示），然后准确落入篮框内。已知篮框的中心离地面的距离为3.05米。（1）球在空中运行的最大高度为多少米？（2）如果该球员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？前言：在我们接触到的与二次函数有关的实际问题中，有部分题目，其特点是题中给出解析式，要求学生通过对解析式的观察、分析，画出图象，并根据图象找出正确的数量关系，建立数学模型。分析：(1)由解析式可知，抛物线的开口方向向下，故函数有最大值3.5，此时

5、的值即为球在空中运行的最大高度；(2)由篮框的中心离地面的距离为3.05米，可知此时的函数值是3.05，可求出篮框的中心所对应的自变量的值，即可求出篮框中心与对称轴的水平距离；由该球员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，可知此时的函数值是2.25，可求出该球员所在位置对应的自变量的值，即可求出该球员与对称轴的距离。两距离之和即为该球员与篮框中心的水平距离。解：（1）因为抛物线的顶点坐标为（0，3.5），所以球在空中运行的最大高度为3.5米；⑵在中，y=3.05时，，解得=2.25，所以x=±1.5，又因为x＞0，所以x=1.5，当y=2.25时，，解得=6.25，所以x=±2.5，又因为x

6、＜0，所以x=-2.5，故运动员距离篮框中心水平距离为｜1.5｜+｜-2.5｜=4米。反思：通过对解析式的分析，画出图象，并通过图象将生活与数学联系起来，本题是这类题中最具代表性的。教学中，应先让学生把6“球运行的最大高度”及“人手、篮框的高度”转化为数学语言。抓住这两点，学生就能很容易地找出数量关系，建立起正确的数学模型。　二、建立或化归为方程或不等式模型现实世界中广泛存在着数量之间的相等或不等关系，如投资决策、人口控制、资源保护、生产规划、交通运输、水土流失等问题中涉及的有关数量问题，常归结为方程或不等式求解。例(2007山东卷)某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分

7、钟的广告，广告费用不超过9万元。甲、乙电视台的收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟。假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元。问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？前言：这是高考中继江苏卷线性规划大题后第二个线性规划大题。要解决这一题，学生需掌握如何用线性规划解决实际问题的解题思路：首先，