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1、高考数学数形结合思想分析与讲解所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。以“形”变“数”虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成
2、“数”的形式，进行分析计算。解题的基本思路：明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。“形”“数”互变 “形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”而是需要“形”“数”互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观。解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变。一般方法是看“形”思“数”、见“数”想
3、“形”。实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合。 数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。要想提高学生运用数形结合思想的能力，需要教师耐心细致的引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。基础自测：1.已知，则方程的实数根的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个2.设数集，数集，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的长度的最小值为A.B.C.D.3.若奇函数在上的增函数，有，则（）A.B.C.D.4.当满足条件时，变量的取值范围是（）A.B.C.D.参考解析：1
4、.解析在同一坐标系下，画出函数y=a
5、x
6、，y=
7、logax
8、的图象，则图象有两个交点.2.解析由题意知.集合M的“长度”为，集合N的“长度”为，而集合{x
9、0≤x≤1}的“长度”为1；设线段AB=1，，a，b可在线段AB上自由滑动，a，b重叠部分的长度即为M∩N.如图，显然当a，b各自靠近AB两端时，重叠部分最短,其值为.答案C3.解析由f(x)为奇函数且f(-3)=0，得f(3)=0.又f(x)在（0,+∞)上是增函数，据上条件做出满足题意的y=f(x)草图，如图，如右图中找出f(x)与x异号的部分，可以看出x·f(x)＜0的解集为{x
10、0＜x＜3或-3＜x＜0}.答案D4
11、.解析由题意在坐标系下画出
12、x
13、+
14、y
15、≤1的图象如右图阴影部分，①若x=0时，
16、y
17、≤1,此时u=0;②若x≠0时，变量可看成点A(0，3)与可行域内的点B连线斜率k的倒数,而k∈(-∞,-3]∪[3,+∞),典型例题讲解题型一代数问题“几何化”——以形助数【例1】求函数的值域。解由题意令，所以其图象如右图所示，原式A=x+y其几何意义是直线在坐标轴上的截距，故可设则A=x+y=，结合图像可知，【探究拓展】在解答此类问题时，主要是通过对“数”的形式进行观察、分析，把“数”转成图形，再借助其几何意义，通过“换元”使问题得以顺利解答.变式训练1.已知实数，则实数A的取值范围是.题
18、型二几何问题“代数化”——以数助形【例2】设M是抛物线y=x2上的一点，若点M到直线l:4x-3y-8=0的距离d最小，求点M的坐标及距离d的最小值.解：方法一设点M，由题意可知即当时，满足条件，所以。方法二设过点M平行于直线l与抛物线相切的直线方程为4x-3y+b=0,则整理得3x2-4x-b=0,由题意可知Δ=42+12b=0,即，，所以，所以，。方法三如图所示,若想使抛物线上的点到直线l的距离最小，只需抛物线在点M处的切线与直线l平行即可,因为直线l的斜率为,抛物线的导数为y′=2x,所以。【探究拓展】在解答此类问题时，利用待定系数法设出抛物线上动点的坐标，利用二次函数求
19、最值，是解决距离问题的重要方法；而利用直线平行求距离也是常规方法;利用导数求切线的斜率也是十分简单易行的好方法，这些方法是几种不同数学思想的应用,注意体会.变式训练2设F1、F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使,则椭圆的离心率e的取值范围是（）A.B.C.D.题型三“数”“形”互化，相得益彰【例3】已知二次函数的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，.（1）求函数f(x)的表达式；（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三个
