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时间:2020-08-07
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1、数形结合的思想一、高考真题感悟已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是__________.解:画出函数f(x)的图象,如下图所示:由图象知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨设a
2、图象的特征不清,忽视对(1,0)和(10,1)这两个特殊点的分析.(3)不会借助图形进行分析.二、思想方法概述1.数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以“形”作为手段,“数”作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以“数”作为手段,“形”作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则:(1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则
3、解题将会出现漏洞.有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效应.(2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易出错.(3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线.3.数形结合思想解决的问题常有以下几种:(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围;(2)构建函数模型并结
4、合其图象研究方程根的范围;(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系;(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式;(5)构建立体几何模型研究代数问题;(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题;(7)构建方程模型,求根的个数;(8)研究图形的形状、位置关系、性质等.4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解填空题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作时,应注意以下几点:(1)准确画出函数图象,注意函数的定义域;(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的
5、解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解.5.在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点:(1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征;(2)要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化;(3)要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏;(4)精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,以便于问题求解.三、热点分类突破题型一 数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用例1 (1)设函数f(x)=若f(-4)
6、=f(0),f(-2)=-2,则函数y=g(x)=f(x)-x的零点个数为_____.(2)使log2(-x)7、间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________.解 函数在[0,2]上是增函数,由函数f(x)为奇函数,可得f(0)=0,函数图象关于坐标原点对称,这样就得到了函数在[-2,2]上的特征图象,由f(x-4)=-f(x)⇒f(4-x)=f(x),故函数图象关于直线x=2对称,这样就得到了函数在[2,6]上的特征图象,根据f(x-4)=-f(x)可得f(x-8)=-f(x-4)=f(x),函
7、间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________.解 函数在[0,2]上是增函数,由函数f(x)为奇函数,可得f(0)=0,函数图象关于坐标原点对称,这样就得到了函数在[-2,2]上的特征图象,由f(x-4)=-f(x)⇒f(4-x)=f(x),故函数图象关于直线x=2对称,这样就得到了函数在[2,6]上的特征图象,根据f(x-4)=-f(x)可得f(x-8)=-f(x-4)=f(x),函
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