2015年浙江省高中数学竞赛试卷(word版,含答案)

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1、2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）1．“a=2，”是“曲线C：经过点”的(A)．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A.解答：当a=2，曲线C：经过；当曲线C：经过点时，即有，显然也满足上式。所以“a=2，”是“曲线C：经过点”的充分不必要条件。2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为，则实数的取值范围为(B)．A．B．C．D．第3题图答案：

2、B.解答：由题意可知：解得。3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BB1的中点，则二面角M-CD1-A的余弦值为(C)．A．B．C．D．答案：C.解答：以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，且平面的法向量为，平面法向量为。因此，即二面角M-CD1-A的余弦值为。4．若实数满足，则的最大值为(C)．A．B．C．D．2答案：C.解答：由满足的条件知，所以，当取等号。5．已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积分别为S△PQR，S△ABC，则的最小值为(D)

3、．A．B．C．D．参考答案：D.解答：如图5-1所示，ABCPQRHABCPRQ图5-1图5-2（1）当的直角顶点在的斜边上，则四点共圆，所以在中分别应用正弦定理得.又故,故即为的中点.过作于，则,所以,此时的最大值为.（2）当的直角顶点在的直角边上，如图5-2所示，设,则在中，在中，,由正弦定理,，因此.这样，，当且仅当取等号，此时的最小值为.6.已知数列的通项，，若，则实数等于（D)．A．B．C．D．答案：D.则，所以，经检验只有符合题意。7．若过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，

4、则该正方形的面积不可能等于(C)．A．B．C．D．答案：C.解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为，面积为过的直线的倾斜角为。当过点的直线为正方形的对边所在的直线时，，此时正方形的面积。同理，当过点的直线为正方形的对边所在的直线时，；当过点的直线为正方形的对边所在的直线时，.8．若集合，则集合中的元素个数为(B)．A．4030B．4032C．20152D．20162答案：B.解答：由已知得，因为一奇一偶，所以两者之一为偶数，即为共有2016种情况，交换顺序又得到2016种情形，所以集合共有4032个元素.二、填空题（本

5、大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分）9．已知函数满足，，且，则．答案：.解答：，所以10．若数列的前项和，，则=．答案：.解答：又，故,.11．已知F为抛物线的焦点，点A(3，1)，M是抛物线上的动点．当取最小值时，点M的坐标为．答案：.解答：设抛物线的准线为.过M作的垂线，垂足为则,当三点共线时取等号，此时M的坐标为。12．若，则.答案：.解答:设，则，代入方程得或，即或，所以。13.设函数，其中表示中的最小者．若，则实数的取值范围为．答案：.解答：当时，此时有；当时，此时有；当时

6、，此时有；当时，此时有；当时，此时有。14．已知向量的夹角为，，向量，的夹角为，，则的最大值为．答案：24.解答：，则又此时共圆，由正弦定理得，则。在中，,由余弦定理得,即，所以，当时取“=”，因此的最大值为24.15．设，若对任意，都有，则答案：.解答：首先令知.其次考虑过定点（0,2）的直线，与开口向上的抛物线，满足对任意所对应图象上的点不在轴同侧，因此.又，故.三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18每题18分，共52分）16．设，函数．若对任意实数，方程有两个相异的实根，求实数的取值范围．参考答案：因为方程有两

7、个相异的实根，即方程有两个相异的实数根，所以………………………………4分即对任意实数恒成立，所以，…………………………………………………12分解得.…………………………………………………………………………16分17．已知椭圆的离心率为，右焦点为圆的圆心．(I)求椭圆的方程；(II)若直线l与曲线C1，C2都只有一个公共点，记直线l与圆C2的公共点为A，求点A的坐标．参考答案：（Ⅰ）设椭圆的半焦距长为，则，解得，所以椭圆方程为.………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，显然不满足题意.

8、当直线的率存在时，可设直线的方程为，点的坐标为，其中.联立方程，消去得…………（1）所以即……………………（2）……………………………………………8分联立方程消去得………………（3）所以即……………………………（4）………………………