高中数学不等式证明的常用方法经典例题

《高中数学不等式证明的常用方法经典例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、关于不等式证明的常用方法重难点归纳(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因2不等式证明还有一些常用的方法换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法凡是含有“至少

2、”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法典型题例例1证明不等式(n∈N*)知识依托本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等例2求使≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值知识依托该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1求证(a+)(b+)≥证法一(分析综合法）证法二(均值代换法

3、)证法三(比较法）证法四(综合法)证法五(三角代换法）巩固练习1已知x、y是正变数,a、b是正常数,且=1，x+y的最小值为_2设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且

4、a－d

5、＜

6、b－c

7、，则ad与bc的大小关系是_________3若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，则m、n、p、q的大小顺序是__________4已知a，b，c为正实数，a+b+c=1求证(1)a2+b2+c2≥(2)≤65已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=，证明x，y，z∈［0，

8、］6证明下列不等式(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，则z2≥2(xy+yz+zx)(2)若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，则≥2()7已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n(1)证明niA＜miA(2)证明(1+m)n＞(1+n)m8若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求证a+b≤2，ab≤1不等式知识的综合应用典型题例例1用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米，盖子边长为a米，(1)求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值

9、时，V最大？求出V的最大值(求解本题时，不计容器厚度)知识依托本题求得体积V的关系式后，应用均值定理可求得最值例2已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时

10、f(x)

11、≤1(1)证明

12、c

13、≤1；(2)证明当－1≤x≤1时，

14、g(x)

15、≤2；(3)设a＞0，有－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)知识依托二次函数的有关性质、函数的单调性，绝对值不等式例3设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的两个根x1、x2满足0＜x1＜x2＜

16、(1)当x∈［0，x1时，证明x＜f(x)＜x1；(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜巩固练习1定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中正确不等式的序号是()①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)A①③B②④C①④D②③2下列四个命题中①a+b≥2②sin2x+≥4③

17、设x，y都是正数，若=1，则x+y的最小值是12④若

18、x－2

19、＜ε，

20、y－2

21、＜ε，则

22、x－y

23、＜2ε，其中所有真命题的序号是__________4已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，a＞0)，设方程f(x)=x的两实数根为x1，x2(1)如果x1＜2＜x2＜4，设函数f(x)的对称轴为x=x0，求证x0＞－1；(2)如果

24、x1

25、＜2，

26、x2－x1

27、=2，求b的取值范围6设函数f(x)定义在R上，对任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1(1)求证f(0)=1

28、，且当x＜0时，f(x)＞1；(2)求证f(x)在R上单调递减；(3)设集合A={(x，y)

29、f(x2)·f(y2)＞f(1)}，集合B={(x，y)

30、f(ax－g+2)=1，a∈R}，若A∩B=，求a的取值范围7已知函数f(x)=(b＜0)的值域是［1，3］，(1)求b、c的值；(2)判断函数F(x)=lgf(x)，当x∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论；(3)若