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1、多面体外接球半径常见的几种求法作者：日期:多面体外接球半径常见的几种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9,底面8周长为3,则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x,
2、高为h,则有」，球心到底面的距离d2243°d2求球的半径的，该公式是求球6x3,6招x2h,412,3.「•正六棱柱的底面圆的半径外接球的半径RJr2d21.V球小结本题是运用公式R2r2的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.32解设正四棱柱的底面边长为X,外接球的半径为R,则有4x216,解得x2.「•2RJ222242276,R石.•♦・这个球的表面积是4R224.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且
3、侧棱长均为V3,则其外接球的表面积是.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，把这个三棱锥可以补成一个棱长为73的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.222设其外接球的半径为R,则有2R33MV39.「•寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为”，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为.解设正四棱锥的底面中心为Oi,外接球的球心为O,如图1所示..•・由球的截面的性质，可得OO1平面ABCD.又SO1平面ABCD,球心。必在SO所在的直线上.・•.ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC中，由SASC厄AC2
4、,得SA2SC2AC2.ASC是以AC为斜边的Rt••多1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球43小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB4,BC3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BA.12512C.1256ACD,则四面体ABCD的外接球的体积为B.奥9D.学解设矩形对角线的交点为O,则
5、由矩形对角线互相平分，可知OAOBOCOD..••点O到四面体的四个顶点A、B、C、D的距离相等，即点。为四面体的外接球的球心，如图2所示・•・・外接球的半径R0A:.故43125、生「V球一R.选C.36出现两个垂直关系，利用直角三角形结论：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。：已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，ABBC且PA7PB5,,PC疝，AC10,求球O的体积。解：ABBC且PA7PB5PC.51AC10,,因为72512102所以知AC2PA2PC2P所以PAPC所以可得图形为：在RtABC中斜边为AC在RtPAC中斜边为AC取斜边的中点O,BO在RtAB
6、C中OAOBOC在RtPAC中OPOBOC所以在几何体中OPOBOCOA,即。为该四面体的外接球的1球心RAC52所以该外接球的体积为VR35003【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。第二类方法：多面体的顶点落于地面图形的顶点：h2多面体的顶点落于地面图形的中心：R2/hr2hEg1：已知在三棱锥ABCD中，AD面ABC,BAC120,ABADAC2,求该棱锥的外接球半径。Eg2：正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为亚，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为29R一.4故其外接球的表面积S4R2*49.小结一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分
7、别为a、b、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R,贝U有2RJa2b2c2.
