多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法

《多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为，高为，则有∴正六棱柱的底面圆

2、的半径，球心到底面的距离.∴外接球的半径..小结本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.B.C.D.解设正四棱柱的底面边长为，外接球的半径为，则有，解得.∴.∴这个球的表面积是.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半

3、径为，则有.∴.故其外接球的表面积.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为.解设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得.又，∴球心必在所在的直线上.∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在中，由，得.∴.∴是外接圆的半径，也是外接球的半径.故.小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素

4、的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为A.B.C.D.解设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知.∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径.故.选C.出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥中，，，，求该棱锥

5、的外接球半径。解：由已知建立空间直角坐标系由平面知识得设球心坐标为则,由空间两点间距离公式知解得所以半径为【结论】：空间两点间距离公式：四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为时，它的外接球半径为。内切球的半径正方体的内切球：设正方体的棱长为，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。（1）截面图为正方形的内切圆，得；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。图3图4图5（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面作截

6、面图得，圆为矩形的外接圆，易得。构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例题：已知底面边长为正三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。图6解：如图6，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为，则，正三棱柱的高为，由中，得，，图1二棱锥的内切、外接球问题4.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出

7、截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图1所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为．由图形的对称性知，点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．在中，，即，得，得【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为(为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系多面体的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为：3V/S高为h，各面面积均为S的棱锥内任意一点到各表面距离之和