资源描述：
《三角形的五心一次看个够.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的五心”在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍.一、三角形外心的性质0C外心定理的证明：如图，设AB、BC的中垂线交于点0,则有0A=0B=0C,故0也在A的中垂线上，因为0到三顶点的距离相等，故点0是厶ABC外接圆的圆心.因而称为外心.设"ABC的外接圆为。G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/21:(1)锐角三角形的外心在三角形内；(2)直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；(3)钝角三角形的外心在三角形外点G是平面ABC上一点，那么点G是"ABC外心的充要
2、条件是:2:/BGC=2/A,(或/BGC=2(180°-/A).ABC的外心崗圖禺(或ga2=wb2=gc2)(点g到三顶点距离相等)(GA+GB)•AB=(GB+GC)•BC=(GC+GA)・CA=0(G为三边垂直平分线的交点)224:的充要条件疋:点G是平面阜・ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是"ABC外心PAPG=((tanB+tanC)或PG=(cosA/2sinBsinC)PB+(tanA+tanB)PC)/2(tanA+tanB+tanC).+(tanC+tanA)PA+(cosB/2sinCsinA)PB+(cosC/2
3、sinAsinB)PC.25:R=abc/4S"ABC.正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC。6.外心坐标：0(x,y)我们根据圆心到顶点的距离相等,给定A(x「yj,BMy2),C(X3,y3)求外接圆心坐标①.首先，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,可以列岀以下方程：(X1x)2(y1y)2(X2x)2(y2y)2(X3x)2(y3y)2(X2x)2(y2y)2②.化简得到:2(X2xjx2(y2yjyx
4、y22X12y122(X2X3)x2(y2y3)yx?2y2令A2(X2xj；B12(y2%);C12X22y22
5、X12y1A2(x2x3)；B22(y2y3);C22X22y22X32AxBiyCi；A2xB2yC2；C1B2C2B1AiB2A,B1A1C2A?CiB2A2b!③.最后根据克拉默法则：x因此，x,y为最终结果；7.若O是厶ABC的外心，贝USabocSkaocSaAo=sin/BOCsin/AOCsin/AOB=sin/2A：sin/2B:sin/2C故sin/2A-oA+sin/2B-ob+sin/2C•oC^O证明：设0点在ABC内部，由向量基本定理，有mOAnOBrOC—¥0m,n,rR，则Sboc:Scoa:Saobm:n：:r设:mOAO
6、D,nOBOE,rOCOF，则点0为ADEF的重心，又Sboc丄sEOF5s1AOCss1sSDOF，SAOBSDOE，…nrmrmnSboc:Scoa:Saobm:n:r若O是厶ABC的外心，贝USaBOCSaaoc：SaAo=sin/BOCsin/AOCsin/AO=sin/2A:sin/2B:sin/2C故sin/2AOA+sin/2BOB+sin/2C、三角形的内心内心定理的证明：如图，设/A、/C的平分线相交于I、过I作ID丄BC,IE±AC,IF丄AB则有IE=IF=ID.因此I也在/C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点•上述定理的证法
7、完全适用于旁心定理，请同学们自己完成.设△ABC的内切圆为。0(半径r),角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2。1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。MF/3、r=S/p。证明：SaABC=Saoab+s△oac+Saobc=(cr+br+ar)/2=rp,即得结论。4、△ABC中，/C=90°,r=(a+b-c)/2。5、/BOC=90°+/A/2。6、点0是平面ABC上任意一点，点0是AABC内心的充要条件是:7、点0是平面ABC上任意oL(aOAboBco
8、C)-点，点L是厶ABC内心的充要条件是:/(a+b+c)。8、△ABC中，A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，那么△ABC内心L的坐标是:ax1bx2cx3ay1by2cy3。abc'abc9、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，0和I分别为其外心和内心，贝UOL2=R2-2Rr。10、内角平分线分三边长度关系：如图：△ABC中，AD是/A的角平分线，D在BC上，a、b、c分别是/A、/B、/C的对边，d=AD。设R1是厶ABD的外接圆半径，R2是厶ACD的外接圆半径，则有：BD/CD=AB/AC证明：由正弦定
9、理得b/sinB=c/sinC,d=2R1sinB=2R2sinC,•••R1/
