三角形的五心一次看个够

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1、..三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍．一、三角形外心的性质　　外心定理的证明：如图，设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在A的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心．设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．　　1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；　　（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；　　（3）钝角三角形的外心在三角形外.　　2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A).3

2、：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：点是的外心(或2=2=2)(点到三顶点距离相等)(+)·=(+)·=(+)·=0(为三边垂直平分线的交点)　　4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：=((tanB+tanC)+(tanC+tanA)+(tanA+tanB))/2(tanA+tanB+tanC).或=(cosA/2sinBsinC)+(cosB/2sinCsinA)+(cosC/2sinAsinB).　　5：R=abc/4S⊿ABC.正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC。6.外心坐标：给定求

3、外接圆心坐标O（x，y）①.首先，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，我们根据圆心到顶点的距离相等，可以列出以下方程：         ②.化简得到：                令；;          ；;Word格式..即             ;             ;③.最后根据克拉默法则：         因此，x，y为最终结果；7.若O是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2C故sin∠2A·+sin∠2B·+sin∠2C·=证明：设点在内部，由向量基本定理

4、，有，则设：，则点为△DEF的重心，又，，，∴若O是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2C故sin∠2A·+sin∠2B·+sin∠2C·=二、三角形的内心内心定理的证明：如图，设∠A、∠C的平分线相交于I、过I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点．上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成．设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。1、三角形的三个角

5、平分线交于一点，该点即为三角形的内心。2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。3、r=S/p。证明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp,即得结论。4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。5、∠BOC=90°+∠A/2。Word格式..6、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC内心的充要条件是：。7、点O是平面ABC上任意一点，点L是△ABC内心的充要条件是：/(a+b+c)。8、△ABC中，，那么△ABC内心L的坐标是：。9、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则O

6、L2=R2-2Rr。10、内角平分线分三边长度关系：如图：△ABC中，AD是∠A的角平分线，D在BC上，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，d=AD。设R1是△ABD的外接圆半径，R2是△ACD的外接圆半径，则有：BD/CD=AB/AC证明：由正弦定理得b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC，∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=2R1sinBAD，CD=2R2sinCAD，∠CAD=∠BAD，∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC11、内切圆半径r= 三、三角形的重心1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2.重心和三角形3个

7、顶点组成的3个三角形面积相等。3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为。5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。6.(莱布尼兹公式)三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP+AC/AQ=3Word格式..8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切