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时间:2017-11-13
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1、自主招生讲座—平面几何5三角形的五心问题一.重心:中线交点1.2.3.4.(1)(2)(3)最小。二.外心:三边中垂线交点,外接圆圆心。如图,交于。1.2.(非钝角三角形)(钝角三角形)3.4.三.内心:角平分线交点,内切圆圆心。设的内切圆切边于点,(为内心)的延长线交外接圆于,内切圆半径为,则1.2.3.4.四.垂心:高线的交点设分别是的外心、重心和垂心,于,的延长线交外接圆于,则1.2.与关于成轴对称。3.与的半径相同。4.5.旁心:三角形任意两角的外角平分线和第三个内角的角平分线相交于一点,这个交点即为三角形的旁
2、心。设在中,内的旁切圆(半径为)与的延长线切于,则1.2.3.4.例1:如图,设是的内心,分别是边上的点,且使得。求证:点三点共线。例2:为圆的直径,为圆上一点,,是弧(不含的弧)的中点,过平行于的直线交于,的垂直平分线交于。求证:是的内心。例3:点在内,点在上,点在上。若.求证:的外心在上。例4:设为的外心,,是中点,是的重心,连接并延长交于,连接并延长交于。求证:.例5:在锐角中,,于,于,,分别是的外心和内心,取的中点,连接.求.作业:1.如图,是的内心,关于边的对称点分别为.证明:若的外接圆过点,则。2.如图,
3、在中,的平分线与外接圆交于点是内心,为中点,为关于的对称点,延长与外接圆相交于。求证:线段中有两个的和等于第三个。(提示:面积法)3.已知在中,由点分别向和的平分线引垂线,垂足分别为和,同理,定义和.求证:.(52页)
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