三角形的五心问题

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1、自主招生讲座—平面几何5三角形的五心问题一．重心：中线交点1.2.3.4.（1）(2)(3)最小。二．外心：三边中垂线交点，外接圆圆心。如图，交于。1.2.（非钝角三角形）（钝角三角形）3.4.三．内心：角平分线交点，内切圆圆心。设的内切圆切边于点，（为内心）的延长线交外接圆于，内切圆半径为，则1.2.3.4.四．垂心：高线的交点设分别是的外心、重心和垂心，于，的延长线交外接圆于,则1.2.与关于成轴对称。3.与的半径相同。4.5.旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个内角的角平分线相交于一点，这个交点即为三角形的旁心。设在中，内的旁切圆（半径为）与的延长线切于，则1.2.3.

2、4.例1：如图，设是的内心，分别是边上的点，且使得。求证：点三点共线。例2：为圆的直径，为圆上一点，，是弧（不含的弧）的中点，过平行于的直线交于，的垂直平分线交于。求证：是的内心。例3：点在内，点在上，点在上。若.求证：的外心在上。例4：设为的外心，,是中点，是的重心，连接并延长交于，连接并延长交于。求证：.例5：在锐角中，,于，于，,分别是的外心和内心，取的中点，连接.求.作业：1.如图，是的内心，关于边的对称点分别为.证明：若的外接圆过点，则。2.如图，在中，的平分线与外接圆交于点是内心，为中点，为关于的对称点，延长与外接圆相交于。求证：线段中有两个的和等于第三个。（提示：面

3、积法）3.已知在中，由点分别向和的平分线引垂线，垂足分别为和，同理，定义和.求证：.（52页）