资源描述：
《2021_2022学年新教材高中数学第七章复数7.3.1复数的三角表示式课件新人教A版必修第二册.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、7.3.1复数的三角表示式课标定位素养阐释1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.2.了解复数的辐角及辐角的主值的含义.3.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.4.加强直观想象素养,提升数学运算素养.自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易错辨析随堂练习自主预习·新知导学复数的三角表示式【问题思考】1.如图,角θ的终边上一点P(x,y),设P到原点O的距离
2、OP
3、=r,那么怎样用角θ和r表示x,y?提示:能,由题图得,a=rcosθ,b=rsinθ.所以a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ).3.填空:(1)复数的辐角:以x轴的非负半轴为始边
4、,向量所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值,通常记作argz,即0≤argz<2π.(2)复数的三角形式:一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.其中,r是复数z的模;θ是复数z=a+bi的辐角.r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分开来,a+bi叫做复数的代数表示式,简称代数形式.(3)两个用三角形式表示的复数相等的充要条件:两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.答案:(1)A(2)B【思
5、考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)复数0的辐角的主值是0.(×)(2)任何一个复数的辐角有无限多个值,且这些值相差2π的整数倍.(×)(3)非零复数z的辐角主值是确定的,且唯一的.(√)(4)在复数的三角形式中,辐角θ的值可以用弧度表示,也可以用角度表示,可以是主值,也可以是主值加2kπ或k·360°(k为整数).(√)合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究一复数的三角形式【例1】下列复数是不是三角形式?若不是,把它们转化为三角形式.分析:根据复数三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连,确定判断的依据和变形的方
6、向.复数三角形式的判断依据和变形步骤:(1)判断依据:三角形式的结构特征,模非负,角相同,余弦前,加号连.(2)变形步骤:首先确定复数z对应点所在的象限(此处可假定θ为锐角),其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.【变式训练1】下列复数是不是三角形式?若不是,把它们转化为三角形式.(3)由“模非负”知,不是三角形式.复平面上的点Z3(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角),余弦“-cosθ”已在前,不需要变换三角函数名称,因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限.所以z3=-2(cosθ+isinθ)=2[c
7、os(π+θ)+isin(π+θ)].探究二复数的代数形式转化为三角形式【例2】画出下列复数对应的向量,指出它们的模和辐角的主值,并把这些复数转化为三角形式:(2)复数-10对应的向量如图所示,则模r=10,对应的点在x轴的负半轴上,所以arg(-10)=π.所以-10=10(cosπ+isinπ).复数的代数形式化成三角形式的步骤:(1)先求复数的模;(2)决定辐角所在的象限;(3)根据象限求出辐角(常取它的主值);(4)写出复数的三角形式.解:(1)r=1,对应的点在x轴的正半轴上,所以arg(1)=0.所以1=cos0+isin0.探究三把复数转化为代数形式【例3】
8、分别指出下列复数的模和一个辐角,并把这些复数转化为代数形式:1.类似三角形式的复数求模和辐角时,注意三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连.2.将复数的三角形式转化为代数形式,直接求出角的三角函数值,化简即可.易错辨析忽视角θ的范围而致误【典例】求复数z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角的主值.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解中忽视了条件π<θ<2π,导致没有转化为标准的三角形式就直接下结论.1.在表示复数的三角形式时,要严格套用复数三角形式的四个结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连.2.注
9、意复数辐角的主值范围[0,2π).【变式训练】复数z=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π)的辐角的主值为()答案:C随堂练习答案:B2.复数z=-sin100°+icos100°的辐角的主值是()A.80°B.100°C.190°D.260°解析:∵z=-sin100°+icos100°=-cos10°-isin10°=cos190°+isin190°,∴argz=190°,选C.答案:C3.两个复数z1,z2的模与辐角分别相等,是z1=z2成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
