高二数学1.1.2余弦定理学案新人教A版必修5.docx

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1、1.1.2余弦定理学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式；2,证明余弦定理的向量方法；3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.五—学习过程.一―――一一1一一一一一一———^一一.，一一———"^一^-一、课前准备和它所对角的的相等，即复习1:在一个三角形中，各复习2:在△ABC43,已知c=10,A=45口，C=30口，解此三角形.思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢?二、新课导学派探究新知问题JMBC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b.,•,aC=,,••.AC・AC=•同理可得：a2=b2+c2-2bccosA,22.2c=a+b—2

2、abcosC.新知：余弦定理：三角形中任何一边的—等于其他两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍.思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222•bc-acosA=,,2bc用心爱心专心6［理解定理］(1)若0=90口，贝UcosC=,这时c2=a2+b2由此可知余弦定理是勾股定理丽!广，勾股定理是余弦定理的特例.(2)余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角.试试：(1)△ABC43,

3、a=373,c=2,B=150：1求b.⑵△ABCt3,a=2,b=42,c=73+1,求A.例1.在二ABC中，已知a=23,c=76+72,B=600，求b及A变式1：在△ABC中，若(a+b+c)(b+c—a)=3bc,则A=()A.900B.600C.1350D.1500例2.在△ABC中，已知(a+b+c)(a+b—c)=3ab,且2cosAsinB=sinC,试确定三角形的形状。用心爱心专心6变式2：在^ABC中，若acosA+bcosB=ccosC,则△ABC的形状是什么?用心爱心专心6三、总结提升X学习小结1.余弦定理是任何三角形中边角

4、之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2.余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.派知识拓展在△ABC43,若a2+b2=c2,则角C是直角；若a2+b2c2,则角C是锐角.学习评价冰百我悻价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差派当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知三角形的三边长分别为3、5、7,则最大角为（）.A.60B.75C.120：'D.150：'2.已知锐角三角形的边长分别为2、3、x,则x的取值范围是（）.A.75

5、.V13

6、=3,

7、荔

8、=2,IB与TC的夹角为60°，则

9、品一前

10、=5.在△ABC^,已知三边a、b、c满足b2+a2—c2=ab,则/C等于.二与三一.课后作业AB=14,』BDA=601..已知在AABC中，/A=45,a=2,c=）6解此三角形。2..如图，在四边形ABCD中，已知AD,CD,AD=10,A/BCD=135,求BC的长用心爱心专心61.1.2余弦定

11、理参考答案X典型例题例1.⑴解：b2=a2c2_2accosB二(23)2(6.2)2—22、3(,62)cos450=12(,62)2—43(31)二8b=2j2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:⑵解法cos222Abc-aA二——2bc_(22)2(6.2)2-(23)21―222(-62)-2用心爱心专心6用心爱心专心6A=60°解法sina._AsinBb23一2.2sin45°,又..褥+2.4+1.4=3.8,20v2父1.8=3.6,..a

12、sinB,sinA=—，A=30或1502例2.解：因为2cosAsinB=sinC,由正弦定理得sinCccosA=二—。2sinB2bb2.2_2由余弦定理，cosA——2bc2,22得c=bc又因为(a十b十c)(a+b-c)=3ab,所以（a-b）2-c2=3ab,用心爱心专心6用心爱心专心6222，4b—c=3b得b=c,a=b=c.因此△ABC为等边三角形。变式2：在^ABC中，若acosA+bcosB=ccosC,则△ABC的形状是什么?解：acosAbcosB=ccosC,sinAcosAsinBcosB=sinCcosCsin2Asi

13、n2B=sin2C,2sin(AB)cos(A-B)=2sinCcosCcos(A-B)=-c