线性代数典型例题.docx

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1、线性代数第一章行列式典型例题、利用行列式性质计算行列式、按行（列）展开公式求代数余子式已知行列式D4=1234334415671122=-6,试求A41+A42与A43+A44.三、利用多项式分解因式计算行列式111112-x23323231519-x2xbcbxc2.设f(x)=bcxbcddd.、一一,一,则方程“乂）=0有根乂=d四、抽象行列式的计算或证明1.设四阶矩阵人=[2%3%,4了3-]田=[>2¥2,3七,事4],其中工工工均为四维列向量，且已知行列式

2、A

3、=2,

4、B

5、=-3,试计算行列式

6、A+B

7、.1，，一，,.2.设A为三阶方阵，A为A的伴

8、随矩阵，且[A

9、=],试计算行列式/BA）12A*Ol-OA「3.设A是n阶（n22）非零实矩阵，元素a。与其代数余子式Aj相等，求行列式

10、A

11、.精品资料2104.设矩阵庆=120，矩阵B满足ABA=2BA+E,则

12、B

13、=.0015.设%,％,。3均为3维列向量，记矩阵A=（：1,：2,：3）,B=（二11[3,二12二24：3,：13：29：3）如果

14、A

15、=1,那么

16、B

17、=.五、n阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式一*,11一，1111一，，.1.若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为2,3q,5,则行列式

18、B1-E卜.2.设A为四阶矩阵，且满足

19、2E+

20、A

21、=0,又已知A的三个特征值分别为-1,1,2,试、一，・.*计算行列式12A3E

22、.第二章矩阵典型例题、求逆矩阵215300,求A"00001.设A,B,A+B都是可逆矩阵，求：（A“+B」）」0000002.设A=123458：346、讨论抽象矩阵的可逆性1.设n阶矩阵A满足关系式A3+A2-A-E=0,证明A可逆，并求A”.精品资料2.已知A=2E,B=A2—2A+2E,证明B可逆，并求出逆矩阵。3.设A=E+xyT,其中x,y均为n维列向量，且xTy=2,求A的逆矩阵4.设A,B为n阶矩阵，且E-AB可逆，证明E-BA也可逆三、解矩阵方程一11.设矩

23、阵A=-11-111,矩阵X满足A*X=A,+2X，求矩阵X.-1112.已知矩阵A=100110,B=101,且矩阵X满足1110AXA+BXB=AXB+BXA+E,求X.四、利用伴随矩阵进行计算或证明1.证明下列等式(1)(A)=(A);(2)若

24、A

25、#0,则(A)=(A);(3)

26、A恬0,则[(A')T]*=[(A*)T]>(4)口恬0,则(5)*=-」氏仕"0k为门阶矩阵)；(5)若A,B为同阶可逆矩阵，则(AB)=BA.2.设矩阵人:⑸版满足A=AT,若加e12©13为三个相等正数，则沏=五、关于初等矩阵和矩阵的秩(看教材)第三章矩阵典型例题一、判断

27、向量组的线性相关性1.设%=(%1,%2,lllFin)T(i=12lH,r;r

28、

29、

30、,bn)T是线性方程组‘414+^2X2+I“十WnXn=0a2iX+a22X2+IH+a2nXn=0minariXi+ar2X2+11!+amXn=0的非零解向量，试判断向量组叫,%』”,％邛的线性相关性。1.设%02,川,4是n个n维的线性无关向量,%+=ki%+k2a2+HI+kn%,其中ki,k2,lll,kn全不为零,证明%,%,川,%*中任意n个向量均无关。3.设A为4父3矩阵，B为3父3矩

31、阵，且AB=0,其中A=一112.0123-1-110-2，证明B的列向量组线性相关。4.设%,%,M,%」为n—1个线性无关的n维列向量，与和力是与%,@2川，%_1均正交的n维非零列向量，证明(1)彳、内线性相关；⑵%92，川9n」，。线性相关。二、把一个向量用一组向量线性表示‘a11X1+&2X2+IH+ainXn=0证明线性方程组4a21X1，也X2f2nXn=0的解都是,am1X1+am2X2+

32、li+amnXn=0b1X1+b2X2训1+bnXn=0的解的充要条件是日是叫P2JHPm的线性组合,其中p=(b1,b2,tll,bn),%=(叫1,叫2

33、,1儿叫n)(i=1,2,IH,m).三、求向量组的秩1.给定一个向量组，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。2.已知向量组(1)%,%,%；(2)2P3产4；(3)%,%,%,%.如果各向量组精品资料的秩分别是3、3、4,证明：向量组口1,口2,口3，口5T4的秩为4.四、有关矩阵秩的命题1.设A为mxn实矩阵，证明：R(A)=R(ATA).2.设A为n阶方阵，且满足A2=A+2E,证明：R(A—2E)+R(A+E)=n.综合题1.设A为mxn矩PB为nx(n—m)矩阵，且已知AB=0,R(A)=m,R(B)=n—m,设ot是满足Ax

34、=0的一个n维向量，证明：存在唯一的一