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1、线性代数第一章行列式典型例题、利用行列式性质计算行列式、按行(列)展开公式求代数余子式已知行列式D4=1234334415671122=-6,试求A41+A42与A43+A44.三、利用多项式分解因式计算行列式111112-x23323231519-x2xbcbxc2.设f(x)=bcxbcddd.、一一,一,则方程“乂)=0有根乂=d四、抽象行列式的计算或证明1.设四阶矩阵人=[2%3%,4了3-]田=[>2¥2,3七,事4],其中工工工均为四维列向量,且已知行列式
2、A
3、=2,
4、B
5、=-3,试计算行列式
6、A+B
7、.1,,一,,.2.设A为三阶方阵,A为A的伴
8、随矩阵,且[A
9、=],试计算行列式/BA)12A*Ol-OA「3.设A是n阶(n22)非零实矩阵,元素a。与其代数余子式Aj相等,求行列式
10、A
11、.精品资料2104.设矩阵庆=120,矩阵B满足ABA=2BA+E,则
12、B
13、=.0015.设%,%,。3均为3维列向量,记矩阵A=(:1,:2,:3),B=(二11[3,二12二24:3,:13:29:3)如果
14、A
15、=1,那么
16、B
17、=.五、n阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式一*,11一,1111一,,.1.若四阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为2,3q,5,则行列式
18、B1-E卜.2.设A为四阶矩阵,且满足
19、2E+
20、A
21、=0,又已知A的三个特征值分别为-1,1,2,试、一,・.*计算行列式12A3E
22、.第二章矩阵典型例题、求逆矩阵215300,求A"00001.设A,B,A+B都是可逆矩阵,求:(A“+B」)」0000002.设A=123458:346、讨论抽象矩阵的可逆性1.设n阶矩阵A满足关系式A3+A2-A-E=0,证明A可逆,并求A”.精品资料2.已知A=2E,B=A2—2A+2E,证明B可逆,并求出逆矩阵。3.设A=E+xyT,其中x,y均为n维列向量,且xTy=2,求A的逆矩阵4.设A,B为n阶矩阵,且E-AB可逆,证明E-BA也可逆三、解矩阵方程一11.设矩
23、阵A=-11-111,矩阵X满足A*X=A,+2X,求矩阵X.-1112.已知矩阵A=100110,B=101,且矩阵X满足1110AXA+BXB=AXB+BXA+E,求X.四、利用伴随矩阵进行计算或证明1.证明下列等式(1)(A)=(A);(2)若
24、A
25、#0,则(A)=(A);(3)
26、A恬0,则[(A')T]*=[(A*)T]>(4)口恬0,则(5)*=-」氏仕"0k为门阶矩阵);(5)若A,B为同阶可逆矩阵,则(AB)=BA.2.设矩阵人:⑸版满足A=AT,若加e12©13为三个相等正数,则沏=五、关于初等矩阵和矩阵的秩(看教材)第三章矩阵典型例题一、判断
27、向量组的线性相关性1.设%=(%1,%2,lllFin)T(i=12lH,r;r28、
29、
30、,bn)T是线性方程组‘414+^2X2+I“十WnXn=0a2iX+a22X2+IH+a2nXn=0minariXi+ar2X2+11!+amXn=0的非零解向量,试判断向量组叫,%』”,%邛的线性相关性。1.设%02,川,4是n个n维的线性无关向量,%+=ki%+k2a2+HI+kn%,其中ki,k2,lll,kn全不为零,证明%,%,川,%*中任意n个向量均无关。3.设A为4父3矩阵,B为3父3矩
31、阵,且AB=0,其中A=一112.0123-1-110-2,证明B的列向量组线性相关。4.设%,%,M,%」为n—1个线性无关的n维列向量,与和力是与%,@2川,%_1均正交的n维非零列向量,证明(1)彳、内线性相关;⑵%92,川9n」,。线性相关。二、把一个向量用一组向量线性表示‘a11X1+&2X2+IH+ainXn=0证明线性方程组4a21X1,也X2f2nXn=0的解都是,am1X1+am2X2+
32、li+amnXn=0b1X1+b2X2训1+bnXn=0的解的充要条件是日是叫P2JHPm的线性组合,其中p=(b1,b2,tll,bn),%=(叫1,叫2
33、,1儿叫n)(i=1,2,IH,m).三、求向量组的秩1.给定一个向量组,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。2.已知向量组(1)%,%,%;(2)2P3产4;(3)%,%,%,%.如果各向量组精品资料的秩分别是3、3、4,证明:向量组口1,口2,口3,口5T4的秩为4.四、有关矩阵秩的命题1.设A为mxn实矩阵,证明:R(A)=R(ATA).2.设A为n阶方阵,且满足A2=A+2E,证明:R(A—2E)+R(A+E)=n.综合题1.设A为mxn矩PB为nx(n—m)矩阵,且已知AB=0,R(A)=m,R(B)=n—m,设ot是满足Ax
34、=0的一个n维向量,证明:存在唯一的一