线性代数总复习及典型例题.pdf

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1、线性代数总复习第一章行列式第一节n阶行列式的定义二阶行列式的计算方法aa1112aaaa.11221221aa2122三阶行列式的计算方法——沙路法aaaaa1112131112Daaaaa2122232122aaaaa3132333132Daaaaaaaaa112233122331132132aaaaaaaaa.112332122133132231一些常用的行列式结果：aaa11121n0aa222naaa1122nn00ann1212nn1n(n1)22(1)12nna11La1mMM0Dam1Lamm*L

2、*b11Lb1kMMMM*L*bk1LbkkaLabLb111m111kMMMM.aLabLbm1mmk1kk第二节行列式的性质性质1.1行列式与它的转置行列式相等.性质1.2行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.如果行列式中有一行(列)为零，那么行列式为零。性质1.3对换行列式的两行（列）,行列式变号.如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质1.4如果行列式中有两行（列）对应成比例，那么行列式为零．性质1.5如果行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i行的元

3、素都是两数之和aaa11121nDbcbcbci1i1i2i2ininaaan1n2nn则D等于下列两个行列式之和：aaaaaa11121n11121nDbbbccci1i2ini1i2inaaaaaan1n2nnn1n2nn性质1.6把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变．(倍加运算)计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．第三节行列式按行(列)展开引理一个n阶行列式，如果第i行所有元素除a外都为零，那么这个行列式等于a与它的代ijij数余子式的乘积，即D

4、aA.ijij行列式的某行(列)的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。行列式某行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零。行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.nD,当ij,akiAkjk10,当ij;nD,当ij,aikAjkk10,当ij;第二章矩阵及其运算一、矩阵的概念1.矩阵的基本概念由mn个数aiji1,2,,m;j1,2,,n排成的m行n列的数表a11a12a1naaa21222nAam1am2amn称为m行n列矩阵,简称m

5、n矩阵.其中mn个数称为矩阵A的元素，数a称为矩阵ijA的第i行第j列的元素.二、矩阵的运算1.矩阵的基本运算：加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘方阵的幂转置矩阵对称及反对陈矩阵方阵的行列式2.矩阵的运算规律：加法：1交换律：ABBA;2结合律：ABCABC.数乘：1结合律:AA;2分配律:AAA;ABAB.乘法：1ABCABC;2ABABAB（其中为数）;3ABCABAC,BCABACA;方阵的幂运算：

6、klkl（1）AAAklkl（2）(A)Akkk注意：ABAB.转置运算：TT1AA;TTT2ABAB;TT3AA;TTT4ABBA.3.方阵的行列式及其性质由n阶方阵A的元素按原相对位置所构成的行列式，称为方阵A的行列式，记作A或detA.方阵的行列式满足下列规律：（设A、B为n阶方阵，为数）T（1）AAn（2）AA;（3）ABAB三、逆矩阵.列标1.基本概念对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B使得ABBAE则称B是A的逆矩阵，并称矩阵A是可逆矩阵或满秩1矩阵，或非奇异矩阵,记为A.说明若A是可

7、逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.11注意不能将A写成.A设有n阶方阵A(a),由行列式A中ijnn各元素aij的代数余子式Aij构成如下n阶方阵A11A21An1A12A22An2AA1nA2nAnn称为矩阵A的伴随矩阵.*注意:伴随阵A与原矩阵A元素位置的对应关系.2.基本定理设A为n阶方阵，A*为其伴随矩阵，则AAAAAE.11A可逆A0,且AA,A其中A是A的伴随阵.若ABE(或1BAE),则BA.3.可逆矩阵的性质1111