线性代数重要知识点及典型例题答案.docx

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1、线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和aijn(1)(j1j2..jn)a1ja2j2...anjn1j1j2jn（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式DDT）②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。④

2、行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式Mij、代数余子式Aij(1)ijMij定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式D0时，有唯一解：xjDj(j1、2n)D齐次线性方程组：当系数行列式D10时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特殊行列式：a11a12a13a11a21a31①转置行列式：a21a22a23a12a22a32a31a32a33a13a23a33②对称

3、行列式:aijaji③反对称行列式:aijaji奇数阶的反对称行列式值为零a11a12a13④三线性行列式:a21a220方法：用k1a22把a21化为零，。。化为三角形行列式a310a33⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵矩阵的概念：Am*n（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵)矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律数乘kA(kaij)m*n---------分

4、配、结合律lA*B(aik)m*l*(bkj)l*n(aikbkj)m*n乘法1注意什么时候有意义一般AB=BA，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0转置(AT)TA(AB)TATBT(kA)TkAT(AB)TBTAT(反序定理)方幂：Ak1Ak2Ak1k2(Ak1)k2Ak1k2几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB都是N阶对角阵，k是数，则kA、A+B、AB都是n阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若⋯⋯）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若⋯⋯）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的

5、下方都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A是N阶方阵，若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的，A1B(非奇异矩阵、奇异矩阵

6、A

7、=0、伴随矩阵)初等变换1、交换两行（列）2.、非零k乘某一行（列）3、将某行（列）的K倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵倍乘阵倍加阵）等价标准形矩阵DrIrOOO矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A可逆，则满秩若A是非奇异矩阵

8、，则r（AB）=r（B）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵(kaij)nk(aij)n，行列式kaijnknaijn逆矩阵注：①AB=BA=I则A与B一定是方阵②BA=AB=I则A与B一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A可逆，则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且(A1)1A2、可逆矩阵A的数

9、乘矩阵kA也是可逆的，且(kA)11A1k3、可逆矩阵A的转置AT也是可逆的，且(AT)1(A1)T4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的，且(AB)1B1A1但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但(AB)A1B1A为N阶方阵，若

10、A

11、=0，则称A为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。5、若A可逆，则A11A伴随矩阵：A为N阶方阵，伴随矩阵：A*A11A12（代数余子式）A21A22特殊矩阵的逆矩阵：（对1和2，前提是每个矩阵都可逆）AB1111、分块矩阵DAABCO则D1COC1A1A11A212

12、、准对角矩阵A，则A1A2A31A31A4A43、AA*A*AAI4、A*AA1（A可逆）5、A*An16、A*1A1*1A（A可逆）A7、A*TAT*8、AB*B*A*判断矩阵是否可逆：充要条件是A0，此时A11A*A求逆矩阵的方法：定义法AA1I伴随矩阵法A1A*A初等变换法A

13、InIn

14、A1只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系：设Aaijm*n是m*n